Макс – мин неравенство - Max–min inequality

В математике max – min неравенство выглядит следующим образом: для любой функции ${\displaystyle f:Z\times W\to \mathbb {R} }$,

${\displaystyle \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w).}$

Когда выполняется равенство, говорят, что ж, W и Z удовлетворяет строгому свойству max – min (или точка перевала свойство). Поскольку функция ж(z,ш) = грех (z+ш) показывает, что это равенство не всегда выполняется. Теорема, дающая условия на ж, W и Z чтобы гарантировать свойство седловой точки, называется теорема о минимаксе.

Доказательство

Определить ${\displaystyle g(z)\triangleq \inf _{w\in W}f(z,w)}$.

${\displaystyle \forall w,\forall z,g(z)\leq f(z,w)}$

${\displaystyle \Longrightarrow \forall w,\sup _{z}g(z)\leq \sup _{z}f(z,w)}$

${\displaystyle \Longrightarrow \sup _{z}g(z)\leq \inf _{w}\sup _{z}f(z,w)}$

${\displaystyle \Longrightarrow \sup _{z}\inf _{w}f(z,w)\leq \inf _{w}\sup _{z}f(z,w)\qquad \square }$

Рекомендации

• Бойд, Стивен; Ванденберге, Ливен (2004), Выпуклая оптимизация (PDF), Издательство Кембриджского университета

Смотрите также

• Теорема о минимаксе