Цены по мартингейлу - Martingale pricing

Цены по мартингейлу ценовой подход, основанный на понятиях мартингейл и нейтралитет риска. Подход к ценообразованию мартингейл является краеугольным камнем современного количественного финансирования и может применяться к различным производные контракты, например опции, фьючерсы, производные по процентной ставке, кредитные деривативы, так далее.

В отличие от PDE подход к ценообразованию, формулы ценообразования мартингейла представлены в форме ожиданий, которые могут быть эффективно решены численно с использованием Монте-Карло подход. Таким образом, ценообразование по мартингейлу предпочтительнее при оценке крупных контрактов, таких как корзина опционов. С другой стороны, оценивая Контракты в американском стиле хлопотно и требует дискретизации проблемы (превращения ее в Бермудский вариант ) и только в 2001 г. Ф. А. Лонгстафф и Э. С. Шварц разработал практический метод Монте-Карло для ценообразования американских опционов.^[1]

Представление теории меры

Предположим, что состояние рынка можно представить в виде фильтрованное вероятностное пространство,${displaystyle (Omega ,({mathcal {F}}_{t})_{tin [0,T]},{ ilde {mathbb {P} }})}$. Позволять ${displaystyle {S(t)}_{tin [0,T]}}$ - стохастический ценовой процесс на этом пространстве. Можно оценить производную ценную бумагу, ${displaystyle V(t,S(t))}$ согласно философии отсутствия арбитража, поскольку,

${displaystyle D(t)V(t,S(t))={ ilde {mathbb {E} }}[D(T)V(T,S(T))|{mathcal {F}}_{t}],qquad dD(t)=-r(t)D(t) dt}$

куда ${displaystyle { ilde {mathbb {P} }}}$ это нейтральная к риску мера.

${displaystyle (r(t))_{tin [0,T]}}$ является ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$-измеримый (безрисковый, возможно, стохастический) процесс процентной ставки.

Это достигается через почти уверен воспроизведение времени производной ${displaystyle T}$ выплата с использованием только базовых ценных бумаг и безрискового денежного рынка (MMA). Эти базовые активы имеют цены, которые наблюдаемы и известны. В частности, строится процесс портфеля. ${displaystyle {X(t)}_{tin [0,T]}}$ в непрерывном времени, где он держит ${displaystyle Delta (t)}$ акции базовых акций в каждый момент времени ${displaystyle t}$, и ${displaystyle X(t)-Delta (t)S(t)}$ деньги, приносящие безрисковый доход ${displaystyle r(t)}$. Портфель подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению

${displaystyle dX(t)=Delta (t) dS(t)+r(t)(X(t)-Delta (t)S(t)) dt}$

Затем будет предпринята попытка применить Теорема Гирсанова путем первых вычислений ${displaystyle {frac {d{ ilde {mathbb {P} }}}{dmathbb {P} }}}$; это Производная Радона – Никодима относительно наблюдаемого рыночного распределения вероятностей. Это гарантирует, что процесс тиражирования дисконтированного портфеля будет мартингейлом в условиях нейтрального риска.

Если такой процесс ${displaystyle Delta (t)}$ можно четко определить и построить, то выбирая ${displaystyle V(0,S(0))=X(0)}$ приведет к ${displaystyle { ilde {mathbb {P} }}[X(T)=V(T)]=1}$, что сразу означает, что это происходит ${displaystyle mathbb {P} }$-почти наверняка также, поскольку эти две меры эквивалентны.

Смотрите также

• Броуновская модель финансовых рынков
• Мартингейл (теория вероятностей)

Рекомендации

1. Longstaff, F.A .; Шварц, Э. (2001). «Оценка американских вариантов путем моделирования: простой подход наименьших квадратов». Обзор финансовых исследований. 14: 113–148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462. Дои:10.1093 / rfs / 14.1.113. В архиве из оригинала от 16.10.2009. Получено 8 октября, 2011.