Магическое число (спорт) - Magic number (sports)

В определенных спортивный, а магическое число - это число, обозначающее, насколько близка команда, идущая впереди, к завоеванию титула в дивизионе и / или места в плей-офф. Он представляет собой сумму дополнительных побед впереди команды или дополнительных проигрышей (или любой их комбинации) соперничающих команд, после которых соперничающие команды математически не могут завоевать титул в оставшемся количестве игр (при условии, что маловероятных событий, таких как дисквалификация или исключение из соревнований или конфискация игр задним числом, не происходит). Магические числа обычно ограничиваются видами спорта, где каждая игра приводит к победе или поражению, но не к победе. галстук. Его также можно было бы назвать "решающий номер".

Команды, отличные от ведущих, имеют то, что называется номер исключения (или же "трагический номер") (часто сокращенно E #). Это число представляет собой количество побед лидирующей команды или проигрышей замыкающей команды, которые устранят отстающую команду. Наибольшее количество выбывших среди команд, не занявших первое место, является магическим числом для лидирующей команды.

Магическое число рассчитывается как грамм + 1 − W_А − L_B, куда

грамм общее количество игр в время года
W_А это количество побед, которое имеет команда А в сезоне
L_B это количество проигрышей, которые команда B понесла в сезоне

Например, в Высшая лига бейсбола В сезоне 162 игры. Предположим, что вершина разделение турнирная таблица в конце сезона выглядит следующим образом:

Команда	Побед	Убытки
А	96	58
B	93	62

Тогда магическое число для уничтоженной команды B будет 162 + 1 - 96 - 62 = 5.

Любая комбинация побед команды A и поражений команды B в сумме 5 не позволяет команде B выиграть титул в дивизионе.

«+1» в формуле служит для устранения связей; без него, если бы магическое число уменьшилось до нуля и осталось на нем, две рассматриваемые команды закончили бы с одинаковыми рекордами. Если обстоятельства диктуют, что команда, идущая впереди, выиграет тай-брейк независимо от любых будущих результатов, то дополнительная константа 1 может быть исключена. Например, НБА использует сложные формулы для разрыва ничьей, используя несколько других статистических показателей помимо общего рекорда побед / поражений; Тем не менее первый тай-брейк между двумя командами - их личный рекорд; если команда, идущая впереди, уже установила лучший результат личных встреч, то +1 не нужен.

Магическое число также можно рассчитать как W_B + GR_B - W_А + 1, где

W_B это количество побед, которое имеет команда B в сезоне.
GR_B это количество игр, оставшихся для команды B в сезоне
W_А это количество побед, которое имеет команда А в сезоне

Эта вторая формула в основном говорит: Предположим, что команда B выигрывает каждую оставшуюся игру. Подсчитайте, сколько игр нужно выиграть команде A, чтобы превзойти максимальное количество игр команды B на 1.. Используя приведенный выше пример и тот же сезон из 162 игр, у команды B осталось 7 игр.

Магическое число для команды А, чтобы выиграть дивизион, по-прежнему равно «5»: 93 + 7 - 96 + 1 = 5.

Команда B может выиграть до 100 игр. Если команда A выигрывает 101, команда B выбывает. Магическое число будет уменьшаться с победой команды A и также уменьшится с проигрышем команды B, так как его максимальная сумма выигрышей уменьшится на единицу.

Вариант вышеизложенного рассматривает соотношение между потерями двух команд. Магическое число можно рассчитать как L_А + GR_А - L_B + 1, где

L_А это количество проигрышей команды А в сезоне
GR_А это количество игр, оставшихся для команды А в сезоне
L_B это количество проигрышей, которые понесла Команда B в сезоне

Эта третья формула в основном говорит: Предположим, что команда А проигрывает все оставшиеся игры. Подсчитайте, сколько игр команда B должна проиграть, чтобы превзойти максимальное количество игр команды A на 1.. Используя приведенный выше пример и тот же сезон из 162 игр, у команды A осталось 8 игр.

Магическое число для команды А, чтобы выиграть дивизион, по-прежнему равно "5": 58 + 8 - 62 + 1 = 5. Как видите, магическое число одинаково независимо от того, рассчитывается ли оно на основе потенциальных побед лидера или потенциальных проигрышей. следящей команды. Действительно, математические доказательства покажут, что три представленные здесь формулы математически эквивалентны.

Команда А может проиграть до 66 игр. Если команда B проигрывает 67, команда B выбывает. И снова магическое число будет уменьшаться при победе команды А и также уменьшаться при поражении команды Б.

В некоторых видах спорта связь прерывается дополнительным плей-офф с одной игрой (s) между участвующими командами. Когда команда доходит до точки, в которой ее магическое число равно 1, считается, что она «выиграла вничью» для дивизиона или wild card. Однако, если они заканчивают сезон вничью с другой командой, и только одна из них имеет право на выход в плей-офф, дополнительная игра в плей-офф стирает этот «клинч» для команды, проигравшей в плей-офф.

Некоторые виды спорта используют формулу тай-брейка вместо проведения плей-офф с одной игрой. В таких случаях для определения магического числа необходимо не ограничиваться отчетами о выигранных и проигранных командах, поскольку команде, которая уже гарантировала себе преимущество в формуле тай-брейка, не нужно будет включать «+1» при вычислении своего числа. магическое число. Например, предположим, что баскетбольная лига, которая проводит сезон из 82 игр без единого тай-брейка, показывает турнирное положение в конце сезона следующим образом:

Команда	Побед	Убытки
А	60	15
B	55	20

Предположим далее, что первым шагом в формуле тай-брейка являются результаты личных встреч. Команда A и команда B встречались четыре раза в течение сезона, причем команда A выиграла три из четырех игр. Повторных встреч в регулярном чемпионате у них не запланировано. Таким образом, команда A имеет преимущество над командой B, и ей нужно только финишировать с таким же количеством побед, что и команда B, чтобы занять место перед командой B в турнирной таблице. Следовательно, мы можем вычислить магическое число команды А как 82 - 60 - 20 = 2. Если команда А выиграет две из семи оставшихся игр, она закончит 62–20. Если команда B выиграет все семь оставшихся игр, она также закончит со счетом 62–20. Однако, поскольку команда B проигрывает тай-брейк при личных встречах, команда A становится победителем в дивизионе.

По соглашению, магическое число обычно используется только для описания команды, занявшей первое место, относительно команд, которые она возглавляет. Тем не менее, те же математические формулы могут быть применены к любой команде, командам, имеющим равное лидерство, а также командам, которые следуют за ними. В этих случаях команда, которая не занимает первое место, будет зависеть от того, что лидирующая команда проиграет несколько игр, чтобы наверстать упущенное, поэтому магическое число будет больше, чем количество оставшихся игр. В конечном счете, для команд, которые больше не участвуют в состязаниях, их магическое число будет больше, чем их оставшиеся игры + оставшиеся игры для команды, занявшей первое место, что было бы невозможно преодолеть.

Вывод

Формула для магического числа напрямую выводится следующим образом. Как и прежде, в какой-то момент сезона позволить Команде А W_А побед и L_А убытки. Предположим, что когда-нибудь позже команда А ш_А дополнительные победы и л_А дополнительные потери, и определить аналогично W_B, L_B, ш_B, л_B для Команды B. Общее количество побед, которое необходимо одержать Команде B, таким образом определяется как (W_А + ш_А) − (W_B + ш_B). Команда А клинчит, когда это количество превышает количество игр, оставшихся у команды Б, поскольку в этот момент команда Б не может восполнить дефицит, даже если команде А не удается выиграть больше игр. Если есть всего грамм игр в сезоне, то количество игр, оставшихся для команды B, определяется как грамм − (W_B + ш_B + L_B + л_B). Таким образом, условием для клинча команды А является (W_А + ш_А) − (W_B + ш_B) = 1 + грамм − (W_B + ш_B + L_B + л_B). Отменяя общие термины, получаем ш_А + л_B = грамм + 1 − W_А − L_B, устанавливающий формулу магического числа.

Сыгранные игры Причуда

В следующем примере магическое число команды A равно 5, потому что даже если оно может устранить команду B, занявшую второе место в 4 дополнительных играх, потребуется 5 игр, чтобы однозначно исключить команду C, занявшую третье место. Для расчета магического числа необходимо использовать наименьшее количество поражений среди других соревнующихся команд: 162 + 1 - 88 - 70 = 5.

Команда	Побед	Убытки	%	ГБ	E #
А	88	56	.611	--	--
B	75	71	.514	14.0	4
C	73	70	.510	14.5	5

Тонкость

Иногда может показаться, что у команды есть математический шанс на победу, даже если она фактически уже выбыла из-за расписания. В этом сценарии Высшей лиги бейсбола в сезоне осталось три игры. Предполагается, что команды A, B и C имеют право участвовать только в чемпионате дивизиона; команды с лучшими показателями в других дивизионах уже заняли два доступных места с «дикой картой»:

Команда	Побед	Убытки
А	87	72
B	87	72
C	85	74

Если команда C выиграет все три оставшиеся игры, она закончится с показателем 88-74, а если обе команды A и B проиграют свои три оставшиеся игры, они финишируют с 87-75, что сделает команду C победителем дивизиона. . Однако, если Команды А и В сыграют друг против друга в последние выходные (в серии из 3 игр), обе команды не смогут проиграть три оставшихся игры. Один из них выиграет как минимум две игры и, таким образом, получит титул чемпиона дивизиона с рекордом 90–72 или 89–73. Более прямым следствием этой ситуации является то, что команды A и B также не могут финишировать вничью друг с другом, а команда C не может выиграть разделение.

Однозначно можно сказать, была ли команда выброшена с помощью алгоритма проблема максимального расхода.^[1]

Добавление второй команды Wild Card делает возможным в бейсболе обратный сценарий (в котором команда фактически заняла постсезонное место, хотя кажется, что они все еще могут быть устранены). В этом сценарии для Wild Card:

Команда	Побед	Убытки
А	89	70
B	87	72
C	87	72

Если команды B и C играют свои последние три игры друг против друга, а все остальные команды заняли свои дивизионы или математически исключили из игры команду A, то команда A получит по крайней мере вторую койку Wild Card, поскольку это будет невозможно для Команды B и C выигрывают достаточно игр, чтобы догнать команду A.

Обратный сценарий более распространен в спорте, у которого больше постсезонных мест, что приносит пользу командам, которые находятся в финальных позициях плей-офф, но преследуются командами, которым все еще приходится играть друг с другом. Иногда оба сценария могут происходить одновременно. В следующих Национальная баскетбольная ассоциация сценарий для команд, занявших седьмое по десятое место в турнирной таблице конференции:

Команда	Побед	Убытки
А	42	38
B	41	39
C	41	39
D	40	40

Если команды B и C должны сыграть одну из своих последних двух игр друг против друга и команда A имеет тай-брейк против команд B, C и D, то команда A получит место в плей-офф, поскольку обе команды не могут обогнать их. C. Кроме того, если у команды D не будет тай-брейка против какой-либо из команд A, B и C, то она не будет участвовать в борьбе за плей-офф, поскольку не сможет обогнать обе команды B и C.

Подобный сценарий иногда встречается в европейских футбольных лигах и других соревнованиях, в которых используется повышение и понижение. В этом сценарии для футбольной лиги из 20 команд, которая играет двойной круговой алгоритм формат, присуждает три очка за победу и одно за ничью и переводит команды, занявшие 18, 19 и 20 места:

Позиция	Команда	Играл	Точки
16	А	36	38
17	B	36	34
18	C	36	32
19	D	36	28

Если команда А проиграет свои последние два матча, она закончит с 38 очками, а если команда D выиграет свои последние два матча, она закончит с 34 очками. Тем не менее, независимо от разница мячей или любой другой тай-брейк, если командам B и C все еще предстоит сыграть друг с другом, то команда A в безопасности от вылета, поскольку команды B и C не могут набрать 38 очков, а команда D вылетит, поскольку обе команды B и C не могут закончить с меньшим количеством очков. чем 35 баллов.

Альтернативный метод

Другой метод может быть использован для определения номера исключения, который использует только оставшиеся игры ( ${ displaystyle GR_ {L}, GR_ {T}}$ ) и статистику Games Behind Leader (GBL) следующим образом: ${ displaystyle E = { frac {GR_ {L} + GR_ {T}} {2}} - GBL + 1}$ ,
куда ${ displaystyle GR_ {L}}$ означает оставшиеся игры за лидером (аналогично, ${ displaystyle GR_ {T}}$ означает «Игры, оставшиеся до трейлера»).

Вернитесь к примеру, представленному выше. Номер выбывания для Команды B снова "5": ${ displaystyle E = { frac {8 + 7} {2}} - 3,5 + 1}$ .

Этот метод необходимо использовать, если команды играют разное количество игр в течение всего сезона, например, из-за отмены матчей или ничьей, которые не будут повторяться. Обратите внимание, что этот алгоритм также ограничен вышеупомянутыми тонкостями.

Смотрите также

внешняя ссылка

Сравнение нескольких эквивалентных формул
БУНТ подход к исследованию операций применительно к Высшей лиге бейсбола

[1] Клейнберг, Джон; Тардос, Ива (2005). Разработка алгоритма. Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0321295354.

[1]