Локальный параметр - Local parameter

В геометрии сложной алгебраические кривые, а локальный параметр для кривой C в гладкой точке п это просто мероморфная функция на C что есть простой ноль в п. Эту концепцию можно обобщить на кривые, определенные для полей, отличных от ${displaystyle mathbb {C} }$ (или даже схемы ), поскольку местное кольцо в гладкой точке п алгебраической кривой C (определяется алгебраически замкнутое поле ) всегда кольцо дискретной оценки.^[1] Эта оценка даст нам возможность подсчитать заказ (в точке п) рациональных функций (которые являются естественными обобщениями для мероморфных функций в некомплексной области), имеющих нуль или полюс в п.

Локальные параметры, как следует из названия, используются в основном для правильного считать кратности местным способом.

Вступление

Когда C является сложной алгебраической кривой, мы умеем подсчитывать кратности нулей и полюсов определенных на ней мероморфных функций.^[2] Однако при обсуждении кривых, определенных для полей, отличных от ${displaystyle mathbb {C} }$, у нас нет доступа к мощи комплексного анализа, и необходимо найти замену, чтобы определить кратности нулей и полюсов рациональных функций, определенных на таких кривых. В последнем случае мы говорим, что росток регулярной функции ${displaystyle f}$ исчезает в ${displaystyle Pin C}$ если ${displaystyle fin m_{P}subset {mathcal {O}}_{C,P}}$. Это полностью аналогично комплексному случаю, когда максимальный идеал локального кольца в точке п фактически согласован ростками голоморфных функций, обращающихся в нуль в п.

Теперь функция оценки на ${displaystyle {mathcal {O}}_{C,P}}$ дан кем-то

${displaystyle operatorname {ord} _{P}(f)=max{d=0,1,2,ldots :fin m_{P}^{d}};}$

эту оценку естественно распространить на K(C) (который является полем рациональные функции из C), потому что это поле дробей из ${displaystyle {mathcal {O}}_{C,P}}$. Отсюда идея имеющий простой нуль в точке P теперь завершено: это будет рациональная функция ${displaystyle fin K(C)}$ так что его зародыш попадает в ${displaystyle m_{P}^{d}}$, с d максимум 1.

Это имеет алгебраическое сходство с концепцией униформизирующий параметр (или просто униформизатор) найден в контексте дискретные оценочные кольца в коммутативная алгебра; параметр унификации для DVR (R, м) является генератором максимального идеала м. Ссылка исходит из того, что локальный параметр в п будет параметром унификации для DVR (${displaystyle {mathcal {O}}_{C,P}}$, ${displaystyle m_{P}}$), откуда и произошло название.

Определение

Позволять C - алгебраическая кривая, определенная над алгебраически замкнутым полем K, и разреши K(C) - поле рациональных функций от C. В оценка на K(C), соответствующая гладкой точке ${displaystyle Pin C}$ определяется как${displaystyle operatorname {ord} _{P}(f/g)=operatorname {ord} _{P}(f)-operatorname {ord} _{P}(g)}$, куда ${displaystyle operatorname {ord} _{P}}$ - обычная оценка на локальном кольце (${displaystyle {mathcal {O}}_{C,P}}$, ${displaystyle m_{P}}$). А локальный параметр за C в п это функция ${displaystyle tin K(C)}$ такой, что ${displaystyle operatorname {ord} _{P}(t)=1}$.

Смотрите также

• Дискретное оценочное кольцо

Рекомендации

1. Дж. Х. Сильверман (1986). Арифметика эллиптических кривых. Springer. п. 21 год
2. Р. Миранда (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности. Американское математическое общество. п. 26