Локальный обратный - Local inverse

В местный обратный это своего рода обратная функция или же матрица обратная используется в обработке изображений и сигналов, а также в других общих областях математики.

Идея локальной инверсии пришла из реконструкция интерьера КТ^{[требуется разъяснение ]} изображение. Один из методов внутренней реконструкции был выполнен посредством того, что сначала приблизительно восстанавливает изображение вне области интереса (интересующей области), а затем вычитает данные повторного проецирования изображения вне области интереса из исходных данных проекции; затем созданные выше данные используются для создания новой реконструкции. Эту идею можно расширить до обратной. Вместо того, чтобы напрямую делать инверсию, можно сначала инвертировать неизвестные за пределами локальной области. Пересчитайте данные из этих неизвестных (за пределами местного региона). Вычтите эти пересчитанные данные из исходных данных, затем обратное для неизвестных внутри локальной области будет выполнено с помощью вновь созданных данных.

Эта концепция является прямым продолжением локальная томография, обобщенно обратный и итеративное уточнение метод. Он используется для решения обратной задачи с неполными входными данными, аналогично локальной томографии. Однако эта концепция локальной инверсии также может применяться для полных входных данных.

Локальная инверсия для системы полного поля зрения или системы с переопределением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Предположим, что есть ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ это удовлетворяет,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=J}$

Здесь ${\displaystyle J}$ не равно ${\displaystyle I}$. ${\displaystyle J}$ близко к ${\displaystyle I}$. ${\displaystyle I}$ идентичная матрица. Примеры такой матрицы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}}$ - это, например, метод обратной проекции с фильтром для реконструкции изображения, обратный регуляризации. В этом случае приближенное решение можно найти следующим образом:

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}}$

Лучшее решение для ${\displaystyle x_{1}}$ можно найти следующим образом,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f-By_{0}\\g-Dy_{0}\end{bmatrix}}}$

В приведенной выше формуле ${\displaystyle y_{1}}$ бесполезно, следовательно

${\displaystyle x_{1}=E(f-By_{0})+F(g-Dy_{0})}$

Таким же образом есть

${\displaystyle y_{1}=G(f-Ax_{0})+H(g-Cx_{0})}$

В приведенном выше решении решение разделено только на две части. ${\displaystyle x}$ находится внутри ROI (интересующей области) ${\displaystyle y}$ находится за пределами рентабельности инвестиций. f находится внутри FOV (поля зрения) y вне FOV.

Эти две части могут быть расширены на многие части, в этом случае расширенный метод называется методом метода итеративного уточнения подобласти. ^[1]

Локальная инверсия для системы с ограниченным полем зрения или недоопределенной системы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Предполагать ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ известны матрицы; ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ неизвестные векторы; ${\displaystyle f}$ известен вектор; ${\displaystyle g}$ неизвестный вектор. Интересно знать вектор x. Какое решение лучше?

Предположим, что указанная выше обратная матрица существует ${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}=J}$

Здесь ${\displaystyle J=I}$ или же ${\displaystyle J}$ близко к ${\displaystyle I}$. Локальный обратный алгоритм выглядит следующим образом:

(1) ${\displaystyle g_{ex}}$. Экстраполированный ${\displaystyle g}$ функция получается

${\displaystyle g_{ex}|_{\partial G}=f|_{\partial F}}$

(2) ${\displaystyle y_{0}}$. Примерный ${\displaystyle y}$ функция рассчитывается

${\displaystyle y_{0}=Hg_{ex}}$

(3) ${\displaystyle y'}$. Поправка на ${\displaystyle y}$ делается

${\displaystyle y'=y_{0}+y_{\text{co}}}$

(4) ${\displaystyle f'}$. Исправленная функция для ${\displaystyle f}$ рассчитывается

${\displaystyle f'=f-By'}$

(5) ${\displaystyle g_{1ex}}$. Экстраполированный ${\displaystyle g}$ функция получается

${\displaystyle g_{1ex}|_{\partial G}=f'|_{\partial F}}$

(6) ${\displaystyle x_{1}}$. Получено локальное обратное решение

${\displaystyle x_{1}=Ef'+Fg_{1ex}}$

В приведенном выше алгоритме есть две временные экстраполяции для ${\displaystyle g}$ функции, которые используются для решения проблемы усечения данных. Есть поправка на ${\displaystyle y}$. Эта коррекция может быть постоянной коррекцией для коррекции значений постоянного тока ${\displaystyle y}$ функция или линейная поправка в соответствии с предыдущими знаниями о ${\displaystyle y}$ функция. Этот алгоритм можно найти в справочнике.^[2]

В примере ссылки,^[3] обнаружено, что ${\displaystyle y'=y_{0}+y_{\text{co}}=ky_{0}}$, здесь ${\displaystyle k=1.04}$. В этом примере выполняется постоянная коррекция. Может быть произведена более сложная коррекция, например линейная коррекция, которая, возможно, даст лучшие результаты.

${\displaystyle A^{+}B}$ близко к ${\displaystyle 0}$

Шуан-жэнь Чжао определил локальный обратный^[2] для решения вышеуказанной проблемы. Сначала рассмотрим самое простое решение.

${\displaystyle f=Ax+By}$

или же

${\displaystyle Ax=f-By=f'}$

Здесь ${\displaystyle f'=f-By}$ это правильные данные, в которых нет влияния функции объекта снаружи. Из этих данных легко получить правильное решение,

или же

${\displaystyle x'=A^{-1}f'}$

Здесь ${\displaystyle x'}$ правильное (или точное) решение неизвестного ${\displaystyle x}$, это означает ${\displaystyle x'=x}$. В случае, если ${\displaystyle A}$ не является квадратной матрицей или не имеет обратной, обобщенной обратной может применяться,

${\displaystyle x'=A^{+}(f-By)=A^{+}f'}$

С ${\displaystyle y}$ неизвестно, если он установлен на ${\displaystyle 0}$, получено приближенное решение.

${\displaystyle x_{0}=A^{+}f}$

В приведенном выше решении результат ${\displaystyle x_{0}}$ связано с неизвестным вектором ${\displaystyle y}$. С ${\displaystyle y}$ могут быть любыми значениями, таким образом результат ${\displaystyle x_{0}}$ имеет очень сильные артефакты, которые

${\displaystyle \mathrm {error} _{0}=|x_{0}-x'|=|A^{+}By|}$

Этот вид артефактов называется артефактами усечения в области реконструкции КТ-изображений. Чтобы минимизировать указанные выше артефакты решения, создана специальная матрица ${\displaystyle Q}$ считается, что удовлетворяет

${\displaystyle QB=0}$

Следовательно,

${\displaystyle QAx=Qf-QBy=Qf}$

решить приведенное выше уравнение с помощью Обобщенная обратная

${\displaystyle x_{1}=[QA]^{+}Qf=[A]^{+}Q^{+}Qf}$

Здесь ${\displaystyle Q^{+}}$ является обобщенно обратной матрицей ${\displaystyle Q}$.${\displaystyle x_{1}}$ это решение для ${\displaystyle x}$. Легко найти матрицу Q, удовлетворяющую ${\displaystyle QB=0}$, ${\displaystyle Q}$ можно записать так:

${\displaystyle Q=I-BB^{+}}$

Такая матрица ${\displaystyle Q}$ называется поперечной проекцией матрицы ${\displaystyle B}$

Здесь ${\displaystyle B^{+}}$ - обобщенная обратная матрица ${\displaystyle B}$. ${\displaystyle B^{+}}$ удовлетворяет

${\displaystyle BB^{+}B=B}$

Можно доказать, что

${\displaystyle QB=[I-BB^{+}]B=B-BB^{+}B=B-B=0}$

Легко доказать, что ${\displaystyle QQ=Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}QQ&=[I-BB^{+}][I-BB^{+}]=I-2BB^{+}+BB^{+}BB^{+}\\&=I-2BB^{+}+BB^{+}=I-BB^{+}=Q\end{aligned}}}$

и поэтому

${\displaystyle QQQ=(QQ)Q=QQ=Q}$

Следовательно, Q также является обобщенным обратным к Q

Это означает

${\displaystyle Q^{+}Q=QQ=Q}$

Следовательно,

${\displaystyle x_{1}=A^{+}[Q]^{+}Qf=A^{+}Qf}$

или же

${\displaystyle x_{1}=[A]^{+}[I-BB^{+}]f}$

Матрица

${\displaystyle A^{L}=[A]^{+}[I-BB^{+}]}$

${\displaystyle A^{L}}$ называется локальной инверсией Matrix ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$. Использование локального обратного преобразования вместо обобщенного обратного или обратного позволяет избежать артефактов от неизвестных входных данных. Учитывая,

${\displaystyle [A]^{+}[I-BB^{+}]f'=[A]^{+}[I-BB^{+}](f-By)=[A]^{+}[I-BB^{+}]f}$

Следовательно, есть

${\displaystyle x_{1}=[A]^{+}[I-BB^{+}]f'}$

Следовательно ${\displaystyle x_{1}}$ связаны только правильные данные ${\displaystyle f'}$. Такую ошибку можно рассчитать как

${\displaystyle \mathrm {error} _{1}=|x_{1}-x'|=|[A]^{+}BB^{+}f'|}$

Такая ошибка называется эффектом чаши. Эффект чаши не связан с неизвестным объектом ${\displaystyle y}$, это связано только с правильными данными ${\displaystyle f'}$

В случае вклада ${\displaystyle [A]^{+}BB^{+}f'}$ к ${\displaystyle x}$ меньше, чем у ${\displaystyle [A]^{+}By}$, или же

${\displaystyle \mathrm {error} _{1}\ll \mathrm {error} _{0}}$

локальное обратное решение ${\displaystyle x_{1}}$ лучше, чем ${\displaystyle x_{0}}$ для такого рода обратной задачи. С помощью ${\displaystyle x_{1}}$ вместо ${\displaystyle x_{0}}$, артефакты усечения заменяются эффектом чаши. Этот результат такой же, как локальная томография, следовательно, локальная инверсия является прямым расширением концепции локальной томографии.

Хорошо известно, что решение обобщенного обратного является методом минимальной L2 нормы. Из приведенного выше вывода ясно, что решение локальной обратной является методом минимальной нормы L2 при условии, что влияние неизвестного объекта ${\displaystyle y}$ является ${\displaystyle 0}$. Следовательно, локальный обратный также является прямым расширением концепции обобщенного обратного.

Смотрите также

• Формулировка гипотезы о якобиане
• Реконструкция внутреннего изображения компьютерной томографии
• реконструкция интерьера
• экстраполяция
• матрица обратная
• обобщенно обратный
• итеративное уточнение
• Локальная томография

Рекомендации

1. Шуангрен Чжао, Синьтье Ян, Итерационная реконструкция во всех субрегионах , НАУКА ОНЛАЙН. 2006; 1 (4): стр. 301–308,http://www.paper.edu.cn/uploads/journal/2007/42/1673-7180(2006)04-0301-08.pdf
2. Шуангрен Чжао, Кан Ян, Дазун Цзян, Синтье Ян, Реконструкция интерьера с использованием локальной инверсии, J Xray Sci Technol. 2011; 19(1): 69–90
3. С. Чжао, Д. Джафрей, Итерационная реконструкция и перепроецирование для усеченных проекций, AAPM 2004, Автореферат по медицинской физике 2004 г., Том 31, P1719, http://imrecons.com/wp-content/uploads/2013/02/iterative_extro.pdf