Список формул в римановой геометрии - List of formulas in Riemannian geometry

Это список формулы встречается в [gamma ijk = gamma jik частично на отношениях симметрии символов Кристоффеля первого рода. [Риманова геометрия]].

Символы Кристоффеля, ковариантная производная

В гладком карта координат, то Символы Кристоффеля первого рода даются

${displaystyle Gamma _{kij}={frac {1}{2}}left({frac {partial }{partial x^{j}}}g_{ki}+{frac {partial }{partial x^{i}}}g_{kj}-{frac {partial }{partial x^{k}}}g_{ij}ight)={frac {1}{2}}left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}ight),,}$

и символы Кристоффеля второго типа

${displaystyle {egin{aligned}Gamma ^{m}{}_{ij}&=g^{mk}Gamma _{kij}&={frac {1}{2}},g^{mk}left({frac {partial }{partial x^{j}}}g_{ki}+{frac {partial }{partial x^{i}}}g_{kj}-{frac {partial }{partial x^{k}}}g_{ij}ight)={frac {1}{2}},g^{mk}left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}ight),.end{aligned}}}$

Здесь ${displaystyle g^{ij}}$ это обратная матрица к метрическому тензору ${displaystyle g_{ij}}$. Другими словами,

${displaystyle delta ^{i}{}_{j}=g^{ik}g_{kj}}$

и поэтому

${displaystyle n=delta ^{i}{}_{i}=g^{i}{}_{i}=g^{ij}g_{ij}}$

это размер многообразие.

Символы Кристоффеля удовлетворяют соотношениям симметрии

${displaystyle Gamma _{kij}=Gamma _{kji}}$ или, соответственно, ${displaystyle Gamma ^{i}{}_{jk}=Gamma ^{i}{}_{kj}}$,

второй из которых эквивалентен непринужденности кручения Леви-Чивита связь.

Договорные отношения на символах Кристоффеля даны

${displaystyle Gamma ^{i}{}_{ki}={frac {1}{2}}g^{im}{frac {partial g_{im}}{partial x^{k}}}={frac {1}{2g}}{frac {partial g}{partial x^{k}}}={frac {partial log {sqrt {|g|}}}{partial x^{k}}}}$

и

${displaystyle g^{kell }Gamma ^{i}{}_{kell }={frac {-1}{sqrt {|g|}}};{frac {partial left({sqrt {|g|}},g^{ik}ight)}{partial x^{k}}}}$

где |грамм| абсолютное значение детерминант метрического тензора ${displaystyle g_{ik}}$. Они полезны при работе с расходимостями и лапласианами (см. Ниже).

В ковариантная производная из векторное поле с компонентами ${displaystyle v^{i}}$ дан кем-то:

${displaystyle v^{i}{}_{;j}=(abla _{j}v)^{i}={frac {partial v^{i}}{partial x^{j}}}+Gamma ^{i}{}_{jk}v^{k}}$

и аналогично ковариантная производная ${displaystyle (0,1)}$-тензорное поле с компонентами ${displaystyle v_{i}}$ дан кем-то:

${displaystyle v_{i;j}=(abla _{j}v)_{i}={frac {partial v_{i}}{partial x^{j}}}-Gamma ^{k}{}_{ij}v_{k}}$

Для ${displaystyle (2,0)}$-тензорное поле с компонентами ${displaystyle v^{ij}}$ это становится

${displaystyle v^{ij}{}_{;k}=abla _{k}v^{ij}={frac {partial v^{ij}}{partial x^{k}}}+Gamma ^{i}{}_{kell }v^{ell j}+Gamma ^{j}{}_{kell }v^{iell }}$

то же самое для тензоров с большим количеством индексов.

Ковариантная производная функции (скаляр) ${displaystyle phi }$ это просто его обычный дифференциал:

${displaystyle abla _{i}phi =phi _{;i}=phi _{,i}={frac {partial phi }{partial x^{i}}}}$

Поскольку Леви-Чивита связь метрично-совместима, ковариантные производные метрик обращаются в нуль,

${displaystyle (abla _{k}g)_{ij}=0,quad (abla _{k}g)^{ij}=0}$

а также ковариантные производные определителя метрики (и элемента объема)

${displaystyle abla _{k}{sqrt {|g|}}=0}$

В геодезический ${displaystyle X(t)}$ начиная с начала координат с начальной скоростью ${displaystyle v^{i}}$ имеет расширение Тейлора в диаграмме:

${displaystyle X(t)^{i}=tv^{i}-{frac {t^{2}}{2}}Gamma ^{i}{}_{jk}v^{j}v^{k}+O(t^{3})}$

Тензоры кривизны

Определения

(3,1) Тензор кривизны Римана

• ${displaystyle {R_{ijk}}^{l}={frac {partial Gamma _{ik}^{l}}{partial x^{j}}}-{frac {partial Gamma _{jk}^{l}}{partial x^{i}}}+sum _{p=1}^{n}{ig (}Gamma _{ik}^{p}Gamma _{jp}^{l}-Gamma _{jk}^{p}Gamma _{ip}^{l}{ig )}}$
• ${displaystyle R(u,v)w=abla _{v}abla _{u}w-abla _{u}abla _{v}w-abla _{[v,u]}w}$

Кривизна Риччи

• ${displaystyle R_{ik}=sum _{j=1}^{n}{R_{ijk}}^{j}}$
• ${displaystyle operatorname {Ric} (u,v)=operatorname {tr} (vmapsto R(u,v)w)}$

Скалярная кривизна

• ${displaystyle R=sum _{i=1}^{n}sum _{k=1}^{n}g^{ik}R_{ik}}$
• ${displaystyle R=operatorname {tr} _{g}operatorname {Ric} }$

Бесследный тензор Риччи

• ${displaystyle Q_{ik}=R_{ik}-{frac {1}{n}}Rg_{ik}}$
• ${displaystyle Q(u,v)=operatorname {Ric} (u,v)-{frac {1}{n}}Rg(u,v)}$

(4,0) Тензор кривизны Римана

• ${displaystyle R_{ijkl}=sum _{p=1}^{n}{R_{ijk}}^{p}g_{pl}}$
• ${displaystyle operatorname {Rm} (u,v,w,x)=g{ig (}R(u,v)w,x{ig )}}$

(4,0) Тензор Вейля

• ${displaystyle W_{ijkl}=R_{ijkl}-{frac {1}{n(n-1)}}R{ig (}g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}{ig )}-{frac {1}{n-2}}{ig (}Q_{ik}g_{jl}-Q_{jk}g_{il}-Q_{il}g_{jk}+Q_{jl}g_{ik}{ig )}}$
• ${displaystyle W(u,v,w,x)=operatorname {Rm} (u,v,w,x)-{frac {1}{n(n-1)}}R{ig (}g(u,w)g(v,x)-g(u,x)g(v,w){ig )}-{frac {1}{n-2}}{ig (}Q(u,w)g(v,x)-Q(v,w)g(u,x)-Q(u,x)g(v,w)+Q(v,x)g(u,w){ig )}}$

Тензор Эйнштейна

• ${displaystyle G_{ik}=R_{ik}-{frac {1}{2}}Rg_{ik}}$
• ${displaystyle G(u,v)=operatorname {Ric} (u,v)-{frac {1}{2}}Rg(u,v)}$

Идентичности

Видеть Доказательства с использованием символов Кристоффеля для некоторых доказательств

Основные симметрии

• ${displaystyle {R_{ijk}}^{l}=-{R_{jik}}^{l}}$
• ${displaystyle R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}=R_{klij}}$

Тензор Вейля имеет те же основные симметрии, что и тензор Римана, но его «аналог» тензора Риччи равен нулю:

• ${displaystyle W_{ijkl}=-W_{jikl}=W_{ijlk}=W_{klij}}$
• ${displaystyle sum _{i=1}^{n}sum _{l=1}^{n}g^{il}W_{ijkl}=0}$

Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и бесследовый тензор Риччи являются симметричными 2-тензорами:

• ${displaystyle R_{jk}=R_{kj}}$
• ${displaystyle G_{jk}=G_{kj}}$
• ${displaystyle Q_{jk}=Q_{kj}}$

Первая личность Бьянки

• ${displaystyle R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0}$
• ${displaystyle W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}=0}$

Вторая идентичность Бьянки

• ${displaystyle abla _{p}R_{ijkl}+abla _{i}R_{jpkl}+abla _{j}R_{pikl}=0}$
• ${displaystyle (abla _{u}operatorname {Rm} )(v,w,x,y)+(abla _{v}operatorname {Rm} )(w,u,x,y)+(abla _{w}operatorname {Rm} )(u,v,x,y)=0}$

Контрактная вторая личность Бьянки

• ${displaystyle abla _{j}R_{pk}-abla _{p}R_{jk}=-abla ^{l}R_{jpkl}}$
• ${displaystyle (abla _{u}operatorname {Ric} )(v,w)-(abla _{v}operatorname {Ric} )(u,w)=-operatorname {tr} _{g}{ig (}(x,y)mapsto (abla _{x}operatorname {Rm} )(u,v,w,y){ig )}}$

Вторая идентичность Бьянки с двойным сокращением

• ${displaystyle sum _{p=1}^{n}sum _{q=1}^{n}g^{pq}abla _{p}R_{qk}={frac {1}{2}}abla _{k}R}$
• ${displaystyle operatorname {div} _{g}operatorname {Ric} ={frac {1}{2}}dR}$

Эквивалентно:

• ${displaystyle sum _{p=1}^{n}sum _{q=1}^{n}g^{pq}abla _{p}G_{qk}=0}$
• ${displaystyle operatorname {div} _{g}G=0}$

Личность Риччи

Если ${displaystyle X}$ является векторным полем, то

${displaystyle abla _{i}abla _{j}X^{k}-abla _{j}abla _{i}X^{k}=-{R_{ijp}}^{k}X^{p},}$

что и есть определение тензора Римана. Если ${displaystyle omega }$ является одной формой, то

${displaystyle abla _{i}abla _{j}omega _{k}-abla _{j}abla _{i}omega _{k}={R_{ijk}}^{p}omega _{p}.}$

В более общем смысле, если ${displaystyle T}$ является (0, k) -тензорным полем, то

${displaystyle abla _{i}abla _{j}T_{l_{1}cdots l_{k}}-abla _{j}abla _{i}T_{l_{1}cdots l_{k}}={R_{ijl_{1}}}^{p}T_{pl_{2}cdots l_{k}}+cdots +{R_{ijl_{k}}}^{p}T_{l_{1}cdots l_{k-1}p}.}$

Замечания

Классический результат говорит, что ${displaystyle W=0}$ если и только если ${displaystyle (M,g)}$ локально конформно плоский, т.е. тогда и только тогда, когда ${displaystyle M}$ можно покрыть гладкими координатными картами, относительно которых метрический тензор имеет вид ${displaystyle g_{ij}=e^{varphi }delta _{ij}}$ для какой-то функции ${displaystyle varphi }$ на графике.

Градиент, дивергенция, оператор Лапласа – Бельтрами

В градиент функции ${displaystyle phi }$ получается повышением индекса дифференциала ${displaystyle partial _{i}phi dx^{i}}$, компоненты которого определяются по формуле:

${displaystyle abla ^{i}phi =phi ^{;i}=g^{ik}phi _{;k}=g^{ik}phi _{,k}=g^{ik}partial _{k}phi =g^{ik}{frac {partial phi }{partial x^{k}}}}$

В расхождение векторного поля с компонентами ${displaystyle V^{m}}$ является

${displaystyle abla _{m}V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{m}}}+V^{k}{frac {partial log {sqrt {|g|}}}{partial x^{k}}}={frac {1}{sqrt {|g|}}}{frac {partial (V^{m}{sqrt {|g|}})}{partial x^{m}}}.}$

В Оператор Лапласа – Бельтрами действующий на функцию ${displaystyle f}$ дается дивергенцией градиента:

${displaystyle {egin{aligned}Delta f&=abla _{i}abla ^{i}f={frac {1}{sqrt {|g|}}}{frac {partial }{partial x^{j}}}left(g^{jk}{sqrt {|g|}}{frac {partial f}{partial x^{k}}}ight)&=g^{jk}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{j}partial x^{k}}}+{frac {partial g^{jk}}{partial x^{j}}}{frac {partial f}{partial x^{k}}}+{frac {1}{2}}g^{jk}g^{il}{frac {partial g_{il}}{partial x^{j}}}{frac {partial f}{partial x^{k}}}=g^{jk}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{j}partial x^{k}}}-g^{jk}Gamma ^{l}{}_{jk}{frac {partial f}{partial x^{l}}}end{aligned}}}$

Дивергенция антисимметричный тензор поле типа ${displaystyle (2,0)}$ упрощает до

${displaystyle abla _{k}A^{ik}={frac {1}{sqrt {|g|}}}{frac {partial (A^{ik}{sqrt {|g|}})}{partial x^{k}}}.}$

Гессен карты ${displaystyle phi :Mightarrow N}$ дан кем-то

${displaystyle left(abla left(dphi ight)ight)_{ij}^{gamma }={frac {partial ^{2}phi ^{gamma }}{partial x^{i}partial x^{j}}}-^{M}Gamma ^{k}{}_{ij}{frac {partial phi ^{gamma }}{partial x^{k}}}+^{N}Gamma ^{gamma }{}_{alpha eta }{frac {partial phi ^{alpha }}{partial x^{i}}}{frac {partial phi ^{eta }}{partial x^{j}}}.}$

Кулькарни – Номидзу

В Кулькарни – Номидзу является важным инструментом для построения новых тензоров из существующих тензоров на римановом многообразии. Позволять ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ - симметричные ковариантные 2-тензоры. В координатах,

${displaystyle A_{ij}=A_{ji}qquad qquad B_{ij}=B_{ji}}$

Затем мы можем умножить их в некотором смысле, чтобы получить новый ковариантный 4-тензор, который часто обозначают ${displaystyle A{~wedge !!!!!!igcirc ~}B}$. Определяющая формула:

${displaystyle left(A{~wedge !!!!!!igcirc ~}Bight)_{ijkl}=A_{ik}B_{jl}+A_{jl}B_{ik}-A_{il}B_{jk}-A_{jk}B_{il}}$

Ясно, что продукт удовлетворяет

${displaystyle A{~wedge !!!!!!igcirc ~}B=B{~wedge !!!!!!igcirc ~}A}$

В инерциальной системе отсчета

Ортонормированный инерциальная система отсчета является координатной картой, в которой в начале координат выполняются соотношения ${displaystyle g_{ij}=delta _{ij}}$ и ${displaystyle Gamma ^{i}{}_{jk}=0}$ (но они могут не удерживаться в других точках кадра). Эти координаты также называются нормальными координатами. В такой системе координат выражение для нескольких операторов проще. Обратите внимание, что приведенные ниже формулы действительны. только в начале кадра.

${displaystyle R_{ikell m}={frac {1}{2}}left({frac {partial ^{2}g_{im}}{partial x^{k}partial x^{ell }}}+{frac {partial ^{2}g_{kell }}{partial x^{i}partial x^{m}}}-{frac {partial ^{2}g_{iell }}{partial x^{k}partial x^{m}}}-{frac {partial ^{2}g_{km}}{partial x^{i}partial x^{ell }}}ight)}$

${displaystyle R^{ell }{}_{ijk}={frac {partial }{partial x^{j}}}Gamma ^{ell }{}_{ik}-{frac {partial }{partial x^{k}}}Gamma ^{ell }{}_{ij}}$

Конформное изменение ${displaystyle {widetilde {g}}=e^{2varphi }g}$

Позволять ${displaystyle g}$ - риманова или псевдориманова метрика на гладком многообразии ${displaystyle M}$, и ${displaystyle varphi }$ гладкая вещественнозначная функция на ${displaystyle M}$. потом

${displaystyle { ilde {g}}=e^{2varphi }g}$

также является римановой метрикой на ${displaystyle M}$. Мы говорим что ${displaystyle { ilde {g}}}$ (поточечно) конформно ${displaystyle g}$. Очевидно, конформность метрик - это отношение эквивалентности. Вот несколько формул для конформных изменений тензоров, связанных с метрикой. (Значения, отмеченные тильдой, будут связаны с ${displaystyle { ilde {g}}}$, а те, у кого такие отметки не отмечены, будут связаны с ${displaystyle g}$.)

Леви-Чивита связь

• ${displaystyle {widetilde {Gamma }}_{ij}^{k}=Gamma _{ij}^{k}+{frac {partial varphi }{partial x^{i}}}delta _{j}^{k}+{frac {partial varphi }{partial x^{j}}}delta _{i}^{k}-{frac {partial varphi }{partial x_{k}}}g_{ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {abla }}_{X}Y=abla _{X}Y+dvarphi (X)Y+dvarphi (Y)X-g(X,Y)abla varphi }$

(4,0) Тензор кривизны Римана

• ${displaystyle {widetilde {R}}_{ijkl}=e^{2varphi }R_{ijkl}-e^{2varphi }{ig (}g_{ik}T_{jl}+g_{jl}T_{ik}-g_{il}T_{jk}-g_{jk}T_{il}{ig )}}$ куда ${displaystyle T_{ij}=abla _{i}abla _{j}varphi -abla _{i}varphi abla _{j}varphi +{frac {1}{2}}|dvarphi |^{2}g_{ij}}$

С использованием Кулькарни – Номидзу:

• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Rm} }}=e^{2varphi }operatorname {Rm} -e^{2varphi }g{~wedge !!!!!!igcirc ~}left(operatorname {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi +{frac {1}{2}}|dvarphi |^{2}gight)}$

Тензор Риччи

• ${displaystyle {widetilde {R}}_{ij}=R_{ij}-(n-2){ig (}abla _{i}abla _{j}varphi -abla _{i}varphi abla _{j}varphi {ig )}-{ig (}Delta varphi +(n-2)|dvarphi |^{2}{ig )}g_{ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Ric} }}=operatorname {Ric} -(n-2){ig (}operatorname {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi {ig )}-{ig (}Delta varphi +(n-2)|dvarphi |^{2}{ig )}g}$

Скалярная кривизна

• ${displaystyle {widetilde {R}}=e^{-2varphi }R-2(n-1)e^{-2varphi }Delta varphi -(n-2)(n-1)e^{-2varphi }|dvarphi |^{2}}$
• если ${displaystyle neq 2}$ это можно написать ${displaystyle { ilde {R}}=e^{-2varphi }left[R+{frac {4(n-1)}{(n-2)}}e^{-(n-2)varphi /2} riangle left(e^{(n-2)varphi /2}ight)ight]}$

Бесследный тензор Риччи

• ${displaystyle {widetilde {R}}_{ij}-{frac {1}{n}}{widetilde {R}}{widetilde {g}}_{ij}=R_{ij}-{frac {1}{n}}Rg_{ij}-(n-2){ig (}abla _{i}abla _{j}varphi -abla _{i}varphi abla _{j}varphi {ig )}-{frac {n-2}{n}}{ig (}Delta varphi +|dvarphi |^{2}{ig )}g_{ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Ric} }}-{frac {1}{n}}{widetilde {R}}{widetilde {g}}=operatorname {Ric} -{frac {1}{n}}Rg-(n-2){ig (}operatorname {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi {ig )}-{frac {n-2}{n}}{ig (}Delta varphi +|dvarphi |^{2}{ig )}g}$

(3,1) Кривизна Вейля

• ${displaystyle {{widetilde {W}}_{ijk}}^{l}={W_{ijk}}^{l}}$
• ${displaystyle {widetilde {W}}(X,Y,Z)=W(X,Y,Z)}$ для любых векторных полей ${displaystyle X,Y,Z}$

Форма объема

• ${displaystyle {sqrt {det {widetilde {g}}}}=e^{nvarphi }{sqrt {det g}}}$
• ${displaystyle dmu _{widetilde {g}}=e^{nvarphi },dmu _{g}}$

Оператор Ходжа на p-формах

• ${displaystyle {widetilde {ast }}_{i_{1}cdots i_{n-p}}^{j_{1}cdots j_{p}}=e^{(n-2p)varphi }ast _{i_{1}cdots i_{n-p}}^{j_{1}cdots j_{p}}}$
• ${displaystyle {widetilde {ast }}=e^{(n-2p)varphi }ast }$

Кодифференциал на p-формах

• ${displaystyle {widetilde {d^{ast }}}_{j_{1}cdots j_{p-1}}^{i_{1}cdots i_{p}}=e^{-2varphi }(d^{ast })_{j_{1}cdots j_{p-1}}^{i_{1}cdots i_{p}}-(n-2p)e^{-2varphi }abla ^{i_{1}}varphi delta _{j_{1}}^{i_{2}}cdots delta _{j_{p-1}}^{i_{p}}}$
• ${displaystyle {widetilde {d^{ast }}}=e^{-2varphi }d^{ast }-(n-2p)e^{-2varphi }iota _{abla varphi }}$

Лапласиан по функциям

• ${displaystyle {widetilde {Delta ^{d}}}Phi =e^{-2varphi }{Big (}Delta ^{d}Phi -(n-2)g(dvarphi ,dPhi ){Big )}}$

Лапласиан Ходжа на p-формах

• ${displaystyle {widetilde {Delta ^{d}}}omega =e^{-2varphi }{Big (}Delta ^{d}omega -(n-2p)dcirc iota _{abla varphi }omega -(n-2p-2)iota _{abla varphi }circ domega +2(n-2p)dvarphi wedge iota _{abla varphi }omega -2dvarphi wedge d^{ast }omega {Big )}}$

Вторая фундаментальная форма погружения

Предполагать ${displaystyle (M,g)}$ риманова и ${displaystyle F:Sigma o (M,g)}$ - дважды дифференцируемое погружение. Напомним, что вторая фундаментальная форма для каждого ${displaystyle pin M,}$ симметричное билинейное отображение ${displaystyle h_{p}:T_{p}Sigma imes T_{p}Sigma o T_{F(p)}M,}$ который ценится в ${displaystyle g_{F(p)}}$-ортогональное линейное подпространство к ${displaystyle dF_{p}(T_{p}Sigma )subset T_{F(p)}M.}$ потом

• ${displaystyle {widetilde {h}}(u,v)=h(u,v)-(abla varphi )^{perp }g(u,v)}$ для всех ${displaystyle u,vin T_{p}M}$

Здесь ${displaystyle (abla varphi )^{perp }}$ обозначает ${displaystyle g_{F(p)}}$-ортогональная проекция ${displaystyle abla varphi in T_{F(p)}M}$ на ${displaystyle g_{F(p)}}$-ортогональное линейное подпространство к ${displaystyle dF_{p}(T_{p}Sigma )subset T_{F(p)}M.}$

Средняя кривизна погружения

В той же настройке, что и выше, помните, что средняя кривизна для каждого ${displaystyle pin Sigma }$ элемент ${displaystyle H_{p}in T_{F(p)}M}$ определяется как ${displaystyle g}$-след второй фундаментальной формы. потом

• ${displaystyle e^{2varphi }{widetilde {H}}=H-n(abla varphi )^{perp }.}$

Формулы вариации

Позволять ${displaystyle M}$ - гладкое многообразие и пусть ${displaystyle g_{t}}$ - однопараметрическое семейство римановых или псевдоримановых метрик. Предположим, что это дифференцируемое семейство в том смысле, что для любой гладкой координатной карты производные ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}{ig (}(g_{t})_{ij}{ig )}}$ существуют и сами по себе настолько различимы, насколько это необходимо для того, чтобы следующие выражения имели смысл. Обозначить ${displaystyle v={frac {partial g}{partial t}},}$ как однопараметрическое семейство симметричных 2-тензорных полей.

• ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}Gamma _{ij}^{k}={frac {1}{2}}sum _{p=1}^{n}g^{kp}{Big (}abla _{i}v_{jp}+abla _{j}v_{ip}-abla _{p}v_{ij}{Big )}.}$
• ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}R_{ijkl}={frac {1}{2}}{Big (}abla _{j}abla _{k}v_{il}+abla _{i}abla _{l}v_{jk}-abla _{i}abla _{k}v_{jl}-abla _{j}abla _{l}v_{ik}{Big )}+sum _{p=1}^{n}{R_{ijk}}^{p}v_{pl}-sum _{p=1}^{n}{R_{ijl}}^{p}v_{pk}}$
• ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}R_{ik}={frac {1}{2}}{Big (}sum _{p=1}^{n}abla ^{p}abla _{k}v_{ip}+abla _{i}(operatorname {div} v)_{k}-abla _{i}abla _{k}(operatorname {tr} _{g}v)-Delta v_{ik}{Big )}-sum _{p=1}^{n}R_{i}^{p}v_{pk}}$
• ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}R=Delta (operatorname {tr} _{g}v)+operatorname {div} _{g}operatorname {div} _{g}v-langle v,operatorname {Ric} angle _{g}}$
• ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}dmu _{g}=-{frac {1}{2}}sum _{p=1}^{n}sum _{q=1}^{n}g^{pq}v_{pq},dmu _{g}}$
• ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}abla _{i}abla _{j}Phi =abla _{i}abla _{j}{frac {partial Phi }{partial t}}-{frac {1}{2}}sum _{p=1}^{n}g^{kp}{Big (}abla _{i}v_{jp}+abla _{j}v_{ip}-abla _{p}v_{ij}{Big )}{frac {partial Phi }{partial x^{k}}}}$
• ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}Delta Phi =-langle v,operatorname {Hess} Phi angle _{g}-g{Big (}operatorname {div} v-{frac {1}{2}}d(operatorname {tr} _{g}v),dPhi {Big )}}$

Главный символ

Вычисленные выше вычисления вариационной формулы определяют главный символ отображения, которое посылает псевдориманову метрику ее тензору Римана, тензору Риччи или скалярной кривизне.

• Главный символ карты ${displaystyle gmapsto operatorname {Rm} ^{g}}$ присваивает каждому ${displaystyle xi in T_{p}^{ast }M}$ отображение из пространства симметричных (0,2) -тензоров на ${displaystyle T_{p}M}$ в пространство (0,4) -тензоров на ${displaystyle T_{p}M,}$ данный

${displaystyle vmapsto {frac {xi _{j}xi _{k}v_{il}+xi _{i}xi _{l}v_{jk}-xi _{i}xi _{k}v_{jl}-xi _{j}xi _{l}v_{ik}}{2}}.}$

• Главный символ карты ${displaystyle gmapsto operatorname {Ric} ^{g}}$ присваивает каждому ${displaystyle xi in T_{p}^{ast }M}$ эндоморфизм пространства симметричных 2-тензоров на ${displaystyle T_{p}M}$ данный

${displaystyle vmapsto v(xi ^{sharp },cdot )otimes xi +xi otimes v(xi ^{sharp },cdot )-(operatorname {tr} _{g_{p}}v)xi otimes xi -|xi |_{g}^{2}v.}$

• Главный символ карты ${displaystyle gmapsto R^{g}}$ присваивает каждому ${displaystyle xi in T_{p}^{ast }M}$ элемент сопряженного пространства к векторному пространству симметричных 2-тензоров на ${displaystyle T_{p}M}$ к

${displaystyle vmapsto |xi |_{g}^{2}operatorname {tr} _{g}v+v(xi ^{sharp },xi ^{sharp }).}$

Смотрите также

• Уравнения Лиувилля
• Список формул элементарной геометрии

Рекомендации

• Артур Л. Бесс. «Многообразия Эйнштейна». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 10. Springer-Verlag, Berlin, 1987. xii + 510 с. ISBN  3-540-15279-2