Линейное пространство (геометрия) - Linear space (geometry)

А линейное пространство это базовая структура в геометрия падения. Линейное пространство состоит из набора элементов, называемых точки, и набор элементов, называемый линии. Каждая строка - это отдельная подмножество точек. Точки на линии называются инцидент с линией. Любые две линии могут иметь не более одной общей точки. Интуитивно это правило можно представить в виде двух прямых линий, которые никогда не пересекаются более одного раза.

(Конечные) линейные пространства можно рассматривать как обобщение проективный и аффинные плоскости, и в более широком смысле ${ Displaystyle 2- (v, k, 1)}$ блочные конструкции, где требование, чтобы каждый блок содержал одинаковое количество точек, опускается, а существенной структурной характеристикой является то, что 2 точки инцидентны ровно одной линии.

Период, термин линейное пространство был придуман Поль Либуа в 1964 году, хотя многие результаты о линейных пространствах намного старше.

Определение

Позволять L = (п, г, я) быть структура заболеваемости, для которого элементы п называются точками, а элементы г называются линиями. L это линейное пространство если верны следующие три аксиомы:

(L1) две различные точки инцидентны ровно одной прямой.
(L2) каждая прямая инцидентна по крайней мере двум различным точкам.
(L3) L содержит как минимум две различные строки.

Некоторые авторы опускают (L3) при определении линейных пространств. В такой ситуации линейные пространства, удовлетворяющие (L3), рассматриваются как нетривиальный и те, кто этого не делает банальный.

Примеры

Регулярный Евклидова плоскость со своими точками и прямыми образует линейное пространство, более того, все аффинные и проективные пространства также являются линейными пространствами.

В таблице ниже показаны все возможные нетривиальные линейные пространства из пяти точек. Поскольку любые две точки всегда соприкасаются с одной линией, линии, соприкасающиеся только с двумя точками, по соглашению не рисуются. Тривиальный случай - это просто линия, проходящая через пять точек.

На первой иллюстрации десять линий, соединяющих десять пар точек, не нарисованы. На второй иллюстрации семь линий, соединяющих семь пар точек, не нарисованы.


10 строк	8 строк	6 строк	5 строк

Линейное пространство п точки, содержащие линию, инцидентную с п - 1 балл называется возле карандаша. (Увидеть карандаш )


возле карандаша с 10 точками

Свойства

В Теорема Де Брейна – Эрдеша. показывает, что в любом конечном линейном пространстве ${ Displaystyle S = ({ mathcal {P}}, { mathcal {L}}, { textbf {I}})}$ который не является одной точкой или одной линией, мы имеем ${ Displaystyle | { mathcal {P}} | leq | { mathcal {L}} |}$ .

Смотрите также

использованная литература

Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии, Universitext, Springer, Дои:10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7.

Альбрехт Бойтельшпахер: Einführung in die endliche Geometrie II. Библиографический институт, 1983 г., ISBN 3-411-01648-5, п. 159 (немецкий)
Дж. Х. ван Линт, Р. М. Уилсон: Курс комбинаторики. Издательство Кембриджского университета, 1992 г., ISBN 0-521-42260-4. п. 188
Л. М. Баттен, Альбрехт Бойтельшпахер: Теория конечных линейных пространств. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1992.