Лежандров отношение - Legendres relation

В математике Отношение Лежандра можно выразить в любой из двух форм: как отношение между полные эллиптические интегралы, или как отношение между периодами и квазипериодами эллиптические функции. Эти две формы эквивалентны, поскольку периоды и квазипериоды могут быть выражены через полные эллиптические интегралы. Он был введен (для полных эллиптических интегралов) А. М. Лежандр  (1811, 1825, п. 61).

Полные эллиптические интегралы

Соотношение Лежандра, сформулированное с использованием полных эллиптических интегралов, имеет вид

${\displaystyle K'E+KE'-KK'={\frac {\pi }{2}}}$

куда K и K'Являются полные эллиптические интегралы первого рода для значений, удовлетворяющих k² + k′² = 1, и E и E′ - полные эллиптические интегралы второго рода.

Эта форма соотношения Лежандра выражает тот факт, что вронскиан полных эллиптических интегралов (рассматриваемых как решения дифференциального уравнения) является константой.

Эллиптические функции

Соотношение Лежандра, сформулированное с использованием эллиптических функций, имеет вид

${\displaystyle \omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,}$

куда ω₁ и ω₂ периоды Эллиптическая функция Вейерштрасса, и η₁ и η₂ квазипериоды Дзета-функция Вейерштрасса. Некоторые авторы нормализуют их по-другому, различаясь в два раза, и в этом случае правая часть соотношения Лежандра имеет вид πя или жеπя / 2. Это соотношение может быть доказано путем интегрирования дзета-функции Вейерштрасса на границе фундаментальной области и применения формулы Коши теорема о вычетах.

Рекомендации

• Дурен, Питер (1991), "Соотношение Лежандра для эллиптических интегралов", у Юинга, Джона Х .; Геринг, Ф. В. (ред.), Пол Халмос. Празднование 50-летия математики, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр.305-315, Дои:10.1007/978-1-4612-0967-6_32, ISBN  0-387-97509-8, МИСТЕР  1113282
• Карацуба, Э. А .; Вуоринен, М. (2001), "О гипергеометрических функциях и обобщениях отношения Лежандра", J. Math. Анальный. Appl., 260 (2): 623–640, МИСТЕР  1845572
• Лежандр, А. (1811 г.), Упражнения по исчислению интеграла, я, Париж
• Лежандр, А. (1825 г.), Traite des Fonctions Elliptiques, я, Париж