Теория Ли – Янга - Lee–Yang theory

В статистическая механика, Теория Ли – Янга, иногда также известный как Теория Янга – Ли, это научная теория который пытается описать фазовые переходы в большом физические системы в термодинамический предел основанные на свойствах малых систем конечного размера. Теория вращается вокруг сложных нулей функции раздела систем конечных размеров и как они могут выявить существование фазовых переходов в термодинамическом пределе.^[1][2]

Теория Ли – Янга составляет неотъемлемую часть теорий фазовых переходов. Первоначально разработан для Модель Изинга, теория была расширена и применена к широкому кругу моделей и явлений, включая сворачивание белка,^[3] просачивание,^[4] сложные сети,^[5] и молекулярные молнии.^[6]

Теория названа в честь нобелевских лауреатов. Цзун-Дао Ли и Ян Чен-Нин,^[7][8] награжденных 1957 г. Нобелевская премия по физике за их работу по несохранению паритета слабое взаимодействие.^[9]

Вступление

Для равновесной системы в канонический ансамбль, вся статистическая информация о системе закодирована в статистической сумме,

${\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}},}$

где сумма переходит все возможные микросостояния, и ${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$ - обратная температура, ${\displaystyle k_{B}}$ это Постоянная Больцмана и ${\displaystyle E_{i}}$ это энергия микросостояния. В моменты ${\displaystyle \langle E^{n}\rangle }$ статистики энергии получаются путем многократного дифференцирования статистической суммы по обратной температуре:

${\displaystyle \langle E^{n}\rangle ={\frac {1}{Z}}\partial _{-\beta }^{n}Z={\frac {\sum _{i}E_{i}^{n}e^{-\beta E_{i}}}{\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}}}.}$

Из статистической суммы мы также можем получить свободная энергия

${\displaystyle F=-\beta ^{-1}\log[Z].}$

Аналогично тому, как статистическая сумма генерирует моменты, свободная энергия генерирует кумулянты статистики энергетики

${\displaystyle \langle \!\langle E^{n}\rangle \!\rangle =\partial _{-\beta }^{n}(-\beta F).}$

В более общем смысле, если энергии микросостояний ${\displaystyle E_{i}(q)=E_{i}(0)-q\Phi _{i}}$ зависеть от параметр управления ${\displaystyle q}$ и флуктуирующая сопряженная переменная ${\displaystyle \Phi }$ (значение которого может зависеть от микросостояния) моменты ${\displaystyle \Phi }$ может быть получен как

${\displaystyle \langle \Phi ^{n}\rangle ={\frac {1}{Z}}\beta ^{-n}\partial _{q}^{n}Z(q)={\frac {1}{Z}}\beta ^{-n}\partial _{q}^{n}\sum _{i}e^{-\beta E_{i}(q)}={\frac {\sum _{i}\Phi _{i}^{n}e^{\beta E_{i}(0)+\beta q\Phi _{i}}}{\sum _{i}e^{\beta E_{i}(0)+\beta q\Phi _{i}}}},}$

и кумулянты как

${\displaystyle \langle \!\langle \Phi ^{n}\rangle \!\rangle =\beta ^{-n}\partial _{q}^{n}[-\beta F(q)].}$

Например, для вращение системы, параметр управления может быть внешним магнитное поле, ${\displaystyle q=h}$, а сопряженная переменная может быть полной намагниченностью, ${\displaystyle \Phi =M}$.

Фазовые переходы и теория Ли – Янга.

Иллюстрация того, как нули ближе всего к действительной оси (красные кружки) в комплексной плоскости управляющего параметра ${\displaystyle q}$ может двигаться с увеличением размера системы ${\displaystyle N}$, к (действительному) критическому значению ${\displaystyle q^{*}}$ (закрашенный кружок), для которого фазовый переход имеет место в термодинамическом пределе.

Статистическая сумма и свободная энергия тесно связаны с фазовыми переходами, при которых происходит внезапное изменение свойств физической системы. Математически фазовый переход происходит, когда статистическая сумма равна нулю, а свободная энергия сингулярна (неаналитический ). Например, если первая производная свободной энергии по отношению к управляющему параметру не является непрерывной, может произойти скачок среднего значения флуктуирующей сопряженной переменной, такой как намагниченность, соответствующей фазовый переход первого рода.

Важно отметить, что для системы конечного размера ${\displaystyle Z(q)}$ является конечной суммой экспоненциальных функций и, следовательно, всегда положительна для действительных значений ${\displaystyle q}$. Как следствие, ${\displaystyle F(q)}$ всегда хорошо ведет себя и аналитична для систем конечных размеров. Напротив, в термодинамическом пределе ${\displaystyle F(q)}$ может демонстрировать неаналитическое поведение.

Используя это ${\displaystyle Z(q)}$ является вся функция для конечных размеров системы теория Ли – Янга использует тот факт, что статистическая сумма может быть полностью охарактеризована ее нулями в сложный самолет ${\displaystyle q}$. Эти нули часто называют Ли – Ян нули или, в случае обратной температуры в качестве регулирующего параметра, Нули Фишера. Основная идея теории Ли – Янга состоит в том, чтобы математически изучить, как положение и поведение нулей изменяются по мере увеличения размера системы. Если нули перемещаются на действительную ось управляющего параметра в термодинамическом пределе, это сигнализирует о наличии фазового перехода при соответствующем действительном значении ${\displaystyle q=q^{*}}$.

Таким образом, теория Ли – Янга устанавливает связь между свойствами (нулями) статистической суммы для системы конечного размера и фазовыми переходами, которые могут происходить в термодинамическом пределе (когда размер системы стремится к бесконечности).

Примеры

Молекулярная молния

В молекулярная молния представляет собой игрушечную модель, которую можно использовать для иллюстрации теории Ли – Янга. Его преимущество заключается в том, что все величины, включая нули, можно вычислить аналитически. Модель основана на двухцепочечной макромолекуле с ${\displaystyle N}$ ссылки, которые могут быть открытыми или закрытыми. Для полностью закрытой молнии энергия равна нулю, а для каждого открытого звена энергия увеличивается на величину. ${\displaystyle \varepsilon }$. Ссылка может быть открыта, только если предыдущая также открыта.^[6]

Для ряда ${\displaystyle g}$ различных способов открытия ссылки, функция распределения молнии с ${\displaystyle N}$ ссылки читает

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{N}g^{n}e^{-\beta n\varepsilon }={\frac {1-(ge^{-\beta \varepsilon })^{N+1}}{1-ge^{-\beta \varepsilon }}}}$.

Эта статистическая сумма имеет комплексные нули

${\displaystyle \beta _{k}=\beta _{c}+{\frac {2\pi k}{\varepsilon (N+1)}}i,\qquad k\in \{-N,...,N\}\backslash \{0\},}$

где мы ввели критическую обратную температуру ${\displaystyle \beta _{c}^{-1}=k_{B}T_{c}}$, с ${\displaystyle T_{c}={\frac {\varepsilon }{k_{B}\log g}}}$. Мы видим, что в пределе ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$, ближайшие к действительной оси нули приближаются к критическому значению ${\displaystyle \beta _{k}=\beta _{c}}$. За ${\displaystyle g=1}$, критическая температура бесконечна, и при конечной температуре фазовый переход не происходит. Напротив, для ${\displaystyle g>1}$, фазовый переход происходит при конечной температуре ${\displaystyle T_{c}}$.

Чтобы подтвердить, что система демонстрирует неаналитическое поведение в термодинамическом пределе, мы рассматриваем свободная энергия

${\displaystyle F=U-TS=n(\varepsilon -k_{B}T\log g),}$

или, что то же самое, безразмерная свободная энергия на звено

${\displaystyle {\frac {F}{N\varepsilon }}={\frac {n}{N}}(1-T/T_{c}).}$

В термодинамическом пределе получаем

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {F}{N\varepsilon }}=\lim _{N\rightarrow \infty }-\beta ^{-1}\log[Z]=\lim _{N\rightarrow \infty }-\beta ^{-1}\log \left[{\frac {1-(ge^{-\beta \varepsilon })^{N+1}}{1-ge^{-\beta \varepsilon }}}\right]={\begin{cases}1-T/T_{c},&T>T_{c}\\0,&T\leq T_{c}\end{cases}}}$.

Действительно, куспид развивается при ${\displaystyle T_{c}}$ в термодинамическом пределе. В этом случае первая производная свободной энергии является разрывной, что соответствует фазовый переход первого рода.^[6]

Модель Изинга

Смотрите также: Модель Изинга

Модель Изинга - это оригинальная модель, которую изучали Ли и Янг, когда они разработали свою теорию нулей статистической суммы. Модель Изинга состоит из спиновой решетки с ${\displaystyle N}$ спины ${\displaystyle \{\sigma _{k}\}}$, каждая направлена ​​вверх, ${\displaystyle \sigma _{k}=+1}$, или вниз, ${\displaystyle \sigma _{k}=-1}$. Каждое вращение может также взаимодействовать со своими ближайшими соседями по спину с силой ${\displaystyle J_{ij}}$. Кроме того, внешнее магнитное поле ${\displaystyle h>0}$ может применяться (здесь мы предполагаем, что он однороден и, следовательно, не зависит от спиновых индексов). В Гамильтониан системы для определенной конфигурации спина ${\displaystyle \{\sigma _{i}\}}$ затем читает

${\displaystyle H(\{\sigma _{i}\})=-\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.}$

В этом случае функция разделения читает

${\displaystyle Z(\{\sigma _{i}\})=\sum _{\{\sigma _{i}\}}e^{-\beta H(\{\sigma _{i}\})}}$

Нули этой статистической суммы не могут быть определены аналитически, что требует численных подходов.

Теорема Ли – Янга

Основная статья: Теорема Ли – Янга

Для ферромагнитной модели Изинга, для которой ${\displaystyle J_{ij}\geq 0}$ для всех ${\displaystyle i,j}$, Ли и Ян показали, что все нули ${\displaystyle Z(\{\sigma _{i}\})}$ лежат на единичной окружности комплексной плоскости параметра ${\displaystyle z\equiv \exp(-2\beta h)}$.^[7][8] Это заявление известно как Теорема Ли – Янга, а позже был обобщен на другие модели, такие как Модель Гейзенберга.

Динамические фазовые переходы

Аналогичный подход можно использовать для исследования динамических фазовых переходов. Эти переходы характеризуются Амплитуда Лошмидта, который играет аналогическую роль статистической суммы.^[10]

Связь с колебаниями

Нули Ли – Янга могут быть связаны с кумулянты сопряженной переменной ${\displaystyle \Phi }$ управляющей переменной ${\displaystyle q}$.^[11][12] Для краткости положим ${\displaystyle \beta =1}$ В следующих. Используя то, что статистическая сумма является вся функция для системы конечного размера ее можно разложить по нулям как

${\displaystyle Z(q)=Z(0)e^{cq}\prod _{k}(1-q/q_{k}),}$

куда ${\displaystyle Z(0)}$ и ${\displaystyle c}$ - константы, а ${\displaystyle q_{k}}$ это ${\displaystyle k}$: й нуль в комплексной плоскости ${\displaystyle q}$. Соответствующая свободная энергия тогда читается как

${\displaystyle -F(q)=\log[Z(q)]=\log[Z(0)]+cq+\sum _{k}\log[1-q/q_{k}].}$

Дифференцируя это выражение ${\displaystyle n}$ раз относительно ${\displaystyle q}$, дает ${\displaystyle n}$: кумулянт порядка

${\displaystyle \langle \!\langle \Phi ^{n}\rangle \!\rangle =\partial _{q}^{n}[-F(q)]=-\sum _{k}{\frac {(n-1)!}{(q_{k}-q)^{n}}},\quad n>1.}$

Кроме того, учитывая, что статистическая сумма является действительной функцией, нули Ли – Янга должны входить в комплексно сопряженные пары, что позволяет нам выразить кумулянты как

${\displaystyle \langle \!\langle \Phi ^{n}\rangle \!\rangle =-(n-1)!\sum _{k}{\frac {2\cos(n\arg\{q_{k}-q\})}{|q_{k}-q|^{n}}},\quad n>1,}$

где сумма теперь проходит только по каждой паре нулей. Это устанавливает прямую связь между кумулянтами и нулями Ли – Янга.

Более того, если ${\displaystyle n}$ велика, вклад нулей, находящихся далеко от ${\displaystyle q}$ сильно подавлен, и только ближайшая пара ${\displaystyle q_{0}}$ нулей играет важную роль. Тогда можно написать

${\displaystyle \langle \!\langle \Phi ^{n}\rangle \!\rangle \simeq -(n-1)!{\frac {2\cos(n\arg\{q_{0}-q\})}{|q_{0}-q|^{n}}},\quad n\gg 1.}$

Это уравнение может быть решено как линейная система уравнений, позволяющая определять нули Ли – Янга непосредственно из кумулянтов более высокого порядка сопряженной переменной:^[11][12]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2{\text{Re}}[q-q_{0}]\\|q-q_{0}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {\kappa _{n}^{(+)}}{n}}\\1&-{\frac {\kappa _{n+1}^{(+)}}{n+1}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}(n-1)\kappa _{n}^{(-)}\\n\kappa _{n+1}^{(-)}\end{bmatrix}},\qquad \kappa ^{\pm }\equiv {\frac {\langle \!\langle \Phi ^{n\pm 1}\rangle \!\rangle }{\langle \!\langle \Phi ^{n}\rangle \!\rangle }}.}$

Эксперименты

Будучи комплексными числами физической переменной, нули Ли – Янга традиционно рассматривались как чисто теоретический инструмент для описания фазовых переходов, практически не имеющий отношения к экспериментам. Однако в серии экспериментов в 2010-х годах различные виды нулей Ли – Янга были определены из реальных измерений. В одном эксперименте в 2015 году нули Ли – Янга были извлечены экспериментально путем измерения квантовой когерентности спина, связанного со спиновой ванной изинговского типа.^[13] В другом эксперименте в 2017 году динамические нули Ли – Янга были извлечены из андреевских туннельных процессов между островком в нормальном состоянии и двумя сверхпроводящими выводами.^[14] Кроме того, в 2018 году был проведен эксперимент по определению динамических нулей Фишера амплитуды Лошмидта, которые могут быть использованы для идентификации динамические фазовые переходы.^[15]

Смотрите также

• Теорема Ли – Янга

Рекомендации

1. Blythe, R.A .; Эванс, М. Р. (2003), "Теория Ли-Янга равновесных и неравновесных фазовых переходов", Бразильский журнал физики, 33 (3): 464–475, arXiv:cond-mat / 0304120, Bibcode:2003БрДжФ..33..464Б, Дои:10.1590 / S0103-97332003000300008, ISSN  0103-9733
2. Бена, Иоана; Дроз, Мишель; Липовски, Адам (2005), "Статистическая механика равновесных и неравновесных фазовых переходов: формализм Янга – Ли", Бразильский журнал физики, 19 (29): 4269–4329, arXiv:cond-mat / 0510278, Bibcode:2005IJMPB..19.4269B, Дои:10.1142 / S0217979205032759, S2CID  17505268
3. Ли, Джулиан (2013), "Точные нули функции распределения модели белка Вако-Сайто-Муньос-Итон", Письма с физическими проверками, 110 (24): 248101, arXiv:1305.3063, Bibcode:2013ПхРвЛ.110х8101Л, Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.248101, PMID  25165962, S2CID  19006957
4. Arndt, P. F .; Dahmen, S. R .; Хинрихсен, Х. (2001), «Направленная просачивание, фрактальные корни и теорема Ли – Янга», Physica A, 295 (1–2): 128–131, Bibcode:2001PhyA..295..128A, Дои:10.1016 / S0378-4371 (01) 00064-4
5. Красницкая, М .; Berche, B .; Головач Ю. Кенна, Р. (2016), «Нули функции разделения для модели Изинга на полных графах и на отожженных безмасштабных сетях» (PDF), Журнал физики А, 49 (13): 135001, arXiv:1510.00534, Bibcode:2016JPhA ... 49м 5001K, Дои:10.1088/1751-8113/49/13/135001, S2CID  119280739
6. Дегер, Айдын; Бранднер, Кей; Флиндт, Кристиан (2018), «Нули Ли-Янга и статистика больших отклонений молекулярной молнии», Физический обзор E, 97 (1): 012115, arXiv:1710.01531, Bibcode:2018PhRvE..97a2115D, Дои:10.1103 / PhysRevE.97.012115, PMID  29448488, S2CID  3322412
7. Yang, C.N .; Ли, Т. Д. (1952), "Статистическая теория уравнений состояния и фазовых переходов. I. Теория конденсации", Физический обзор, 87 (3): 404, Bibcode:1952ПхРв ... 87..404Л, Дои:10.1103 / PhysRev.87.404, ISSN  0031-9007
8. Ли, Т. Д .; Ян, К. Н. (1952), "Статистическая теория уравнений состояния и фазовых переходов. II. Решеточный газ и модель Изинга", Физический обзор, 87 (3): 410, Bibcode:1952ПхРв ... 87..410Л, Дои:10.1103 / PhysRev.87.410, ISSN  0031-9007
9. "Нобелевская премия по физике 1957 г.". Нобелевский фонд. Получено 28 августа, 2020.
10. Heyl, M .; Полковников, А .; Кехрейн, С. (2013), "Динамические квантовые фазовые переходы в модели Изинга с поперечным полем", Письма с физическими проверками, 110 (13): 135704, arXiv:1206.2505, Bibcode:2013ПхРвЛ.110м5704Н, Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.135704, PMID  23581343
11. Флиндт, Кристиан; Гаррахан, Хуан П. (2013), «Фазовые переходы траектории, нули Ли-Янга и кумулянты высокого порядка в статистике полного подсчета», Письма с физическими проверками, 110 (5): 050601, arXiv:1209.2524, Bibcode:2013ПхРвЛ.110э0601Ф, Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.050601, PMID  23414009
12. Дегер, Айдын; Флиндт, Кристиан (2020), «Теория Ли-Янга модели Кюри-Вейсса и ее редкие колебания», Physical Review Research, 2 (3): 033009, arXiv:2002.01269, Bibcode:2020PhRvR ... 2c3009D, Дои:10.1103 / PhysRevResearch.2.033009
13. Пэн, Синьхуа; Чжоу, Хуэй; Вэй, Бо-Бо; Цуй, Цзянъюй; Ду, Цзянфэн; Лю, Рен-Бао (2015), "Экспериментальное наблюдение нулей Ли-Яна", Письма с физическими проверками, 114 (1): 010601, arXiv:1403.5383, Bibcode:2015ПхРвЛ.114а0601П, Дои:10.1103 / PhysRevLett.114.010601, PMID  25615455, S2CID  13828714
14. Бранднер, Кей; Maisi, Ville F .; Пекола, Юкка П .; Garrahan, Juan P .; Флиндт, Кристиан (2017), «Экспериментальное определение динамических нулей Ли-Яна», Письма с физическими проверками, 118 (18): 180601, arXiv:1610.08669, Bibcode:2017ПхРвЛ.118р0601Б, Дои:10.1103 / PhysRevLett.118.180601, PMID  28524675, S2CID  206290430
15. Fläschner, N .; Vogel, D .; Tarnowski, M .; Rem, B.S .; Lühmann, D.-S .; Heyl, M .; Budich, J.C .; Mathey, L .; Sengstock, K .; Вайтенберг, К. (2018), "Наблюдение динамических вихрей после гашения в системе с топологией", Природа Физика, 14 (3): 265–268, arXiv:1608.05616, Bibcode:2018НатФ..14..265F, Дои:10.1038 / s41567-017-0013-8, S2CID  118519894