Топология Ловера-Тирни - Lawvere–Tierney topology

В математике Топология Ловера-Тирни является аналогом Топология Гротендика для произвольного топоса, используется для построения топоса пучков. Топологию Ловера – Тирни также иногда называют местный оператор или же покрытие или же топология или же геометрическая модальность. Их представил Уильям Ловер  (1971 ) и Майлз Тирни.

Определение

Если E топос, то топология на E это морфизм j от классификатор подобъектов Ω на Ω такие, что j хранит истину (${\displaystyle j\circ {\mbox{true}}={\mbox{true}}}$), сохраняет пересечения (${\displaystyle j\circ \wedge =\wedge \circ (j\times j)}$) и идемпотентна (${\displaystyle j\circ j=j}$).

j-крытие

Коммутативные диаграммы, показывающие, как j- закрытие действует. Ω и т являются классификатор подобъектов. χ_s характерный морфизм s как подобъект А и ${\displaystyle j\circ \chi _{s}}$ характерный морфизм ${\displaystyle {\bar {s}}}$ какой j- закрытие s. Два нижних квадрата являются квадратами отката, и они также содержатся на верхней диаграмме: первый в виде трапеции, а второй в виде двухквадратного прямоугольника.

Учитывая подобъект ${\displaystyle s:S\rightarrowtail A}$ объекта А с классификатором ${\displaystyle \chi _{s}:A\rightarrow \Omega }$, то композиция ${\displaystyle j\circ \chi _{s}}$ определяет другой подобъект ${\displaystyle {\bar {s}}:{\bar {S}}\rightarrowtail A}$ из А такой, что s является подобъектом ${\displaystyle {\bar {s}}}$, и ${\displaystyle {\bar {s}}}$ считается j-закрытие из s.

Некоторые теоремы, относящиеся к j-замыкание есть (для некоторых подобъектов s и ш из А):

• инфляционное свойство: ${\displaystyle s\subseteq {\bar {s}}}$
• идемпотентность: ${\displaystyle {\bar {s}}\equiv {\bar {\bar {s}}}}$
• сохранение перекрестков: ${\displaystyle {\overline {s\cap w}}\equiv {\bar {s}}\cap {\bar {w}}}$
• сохранение порядка: ${\displaystyle s\subseteq w\Longrightarrow {\bar {s}}\subseteq {\bar {w}}}$
• устойчивость при откате: ${\displaystyle {\overline {f^{-1}(s)}}\equiv f^{-1}({\bar {s}})}$.

Примеры

Топологии Гротендика на малой категории C по существу такие же, как топологии Ловера – Тирни на вершинах предпучков множеств над C.

Рекомендации

• Лавер, Ф. В. (1971), «Кванторы и связки», Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) (PDF), 1, Париж: Готье-Виллар, стр. 329–334, МИСТЕР  0430021
• Мак-Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1994), Связки в геометрии и логике. Первое введение в теорию топосов, Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag. Исправленное переиздание издания 1992 года.
• Макларти, Колин (1995) [1992], Элементарные категории, элементарные топы, Oxford Logic Guides, Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 196