Топология Ловера-Тирни - Lawvere–Tierney topology

В математике Топология Ловера-Тирни является аналогом Топология Гротендика для произвольного топоса, используется для построения топоса пучков. Топологию Ловера – Тирни также иногда называют местный оператор или же покрытие или же топология или же геометрическая модальность. Их представил Уильям Ловер  (1971 ) и Майлз Тирни.

Определение

Если E топос, то топология на E это морфизм j от классификатор подобъектов Ω на Ω такие, что j хранит истину (), сохраняет пересечения () и идемпотентна ().

j-крытие

Коммутативные диаграммы, показывающие, как j- закрытие действует. Ω и т являются классификатор подобъектов. χs характерный морфизм s как подобъект А и характерный морфизм какой j- закрытие s. Два нижних квадрата являются квадратами отката, и они также содержатся на верхней диаграмме: первый в виде трапеции, а второй в виде двухквадратного прямоугольника.

Учитывая подобъект объекта А с классификатором , то композиция определяет другой подобъект из А такой, что s является подобъектом , и считается j-закрытие из s.

Некоторые теоремы, относящиеся к j-замыкание есть (для некоторых подобъектов s и ш из А):

  • инфляционное свойство:
  • идемпотентность:
  • сохранение перекрестков:
  • сохранение порядка:
  • устойчивость при откате: .

Примеры

Топологии Гротендика на малой категории C по существу такие же, как топологии Ловера – Тирни на вершинах предпучков множеств над C.

Рекомендации

  • Лавер, Ф. В. (1971), «Кванторы и связки», Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) (PDF), 1, Париж: Готье-Виллар, стр. 329–334, МИСТЕР  0430021
  • Мак-Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1994), Связки в геометрии и логике. Первое введение в теорию топосов, Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag. Исправленное переиздание издания 1992 года.
  • Макларти, Колин (1995) [1992], Элементарные категории, элементарные топы, Oxford Logic Guides, Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 196