Теорема Ленгса - Langs theorem

В алгебраическая геометрия, Теорема Лэнга, представлен Серж Ланг, гласит: если грамм связная гладкая алгебраическая группа через конечное поле ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$ , затем, написав ${ displaystyle sigma: G to G, , x mapsto x ^ {q}}$ для Фробениуса морфизм разновидностей

{ Displaystyle G к G, , х mapsto x ^ {- 1} sigma (x)}

сюръективно. Обратите внимание, что ядро этой карты (т.е. ${ Displaystyle G = G ({ overline { mathbf {F} _ {q}}}) to G ({ overline { mathbf {F} _ {q}}})}$ ) точно ${ Displaystyle G ( mathbf {F} _ {q})}$ .

Из теоремы следует, что ${ displaystyle H ^ {1} ( mathbf {F} _ {q}, G) = H _ { mathrm {{ строго {e}} t}} ^ {1} ( operatorname {Spec} mathbf { F} _ {q}, G)}$ исчезает,^[1] и, следовательно, любой грамм-пучок на ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbf {F} _ {q}}$ изоморфна тривиальному. Также теорема играет основную роль в теории конечные группы лиева типа.

Не обязательно, чтобы грамм аффинно. Таким образом, теорема применима и к абелевы разновидности (например., эллиптические кривые.) Фактически, это приложение было первоначальной мотивацией Лэнга. Если грамм аффинно, Фробениус ${ displaystyle sigma}$ может быть заменено любым сюръективным отображением с конечным числом неподвижных точек (точное утверждение см. ниже).

Доказательство (приведенное ниже) действительно проходит для любого ${ displaystyle sigma}$ что вызывает нильпотентный оператор на алгебре Ли грамм.^[2]

Теорема Лэнга – Стейнберга.

Steinberg (1968 ) дал полезное улучшение теоремы.

Предположим, что F является эндоморфизмом алгебраической группы грамм. В Карта Lang это карта из грамм к грамм принимая грамм к грамм⁻¹F(грамм).

В Теорема Лэнга – Стейнберга. состояния^[3] что если F сюръективен и имеет конечное число неподвижных точек, и грамм является связной аффинной алгебраической группой над алгебраически замкнутым полем, то отображение Ланга сюръективно.

Доказательство теоремы Лэнга.

Определять:

{ displaystyle f_ {a}: G to G, quad f_ {a} (x) = x ^ {- 1} a sigma (x).}

Затем (отождествляя касательное пространство в точке а с касательным пространством в единичном элементе) имеем:

{ displaystyle (df_ {a}) _ {e} = d (h circ (x mapsto (x ^ {- 1}, a, sigma (x)))) _ {e} = dh _ {(e , a, e)} circ (-1,0, d sigma _ {e}) = - 1 + d sigma _ {e}}

куда ${ displaystyle h (x, y, z) = xyz}$ . Следует ${ displaystyle (df_ {a}) _ {e}}$ биективен, поскольку дифференциал Фробениуса ${ displaystyle sigma}$ исчезает. С ${ displaystyle f_ {a} (bx) = f_ {f_ {a} (b)} (x)}$ , мы также видим, что ${ displaystyle (df_ {a}) _ {b}}$ биективен для любого б.^[4] Позволять Икс быть закрытием образа ${ displaystyle f_ {1}}$ . В гладкие точки из Икс образуют открытое плотное подмножество; таким образом, есть некоторые б в грамм такой, что ${ displaystyle f_ {1} (б)}$ гладкая точка Икс. Поскольку касательное пространство к Икс в ${ displaystyle f_ {1} (б)}$ и касательное пространство к грамм в б имеют одинаковую размерность, отсюда следует, что Икс и грамм имеют такое же измерение, поскольку грамм гладко. С грамм связано, образ ${ displaystyle f_ {1}}$ то содержит открытое плотное подмножество U из грамм. Теперь, учитывая произвольный элемент а в грамм, по тем же рассуждениям образ ${ displaystyle f_ {a}}$ содержит открытое плотное подмножество V из грамм. Перекресток ${ Displaystyle U cap V}$ непусто, но тогда это влечет а находится в образе ${ displaystyle f_ {1}}$ .

Примечания

^ Это «раскручивающееся определение». Здесь, ${ displaystyle H ^ {1} ( mathbf {F} _ {q}, G) = H ^ {1} ( operatorname {Gal} ({ overline { mathbf {F} _ {q}}} / mathbf {F} _ {q}), G ({ overline { mathbf {F} _ {q}}}))}$ является Когомологии Галуа; ср. Милн, Теория поля классов.
^ Springer 1998, Упражнение 4.4.18.
^ Стейнберг 1968, Теорема 10.1
^ Отсюда следует, что ${ displaystyle f_ {a}}$ является эталь.

Теорема Ленгса - Langs theorem

Содержание

Теорема Лэнга – Стейнберга.

Доказательство теоремы Лэнга.

Примечания

Рекомендации