Модель Ландау – Лифшица. - Landau–Lifshitz model

По поводу другого уравнения Ландау – Лифшица, описывающего магнетизм, см. Уравнение Ландау – Лифшица – Гильберта..

В физика твердого тела, то Уравнение Ландау – Лифшица. (LLE), названный в честь Лев Ландау и Евгений Лифшиц, это уравнение в частных производных описывая эволюцию во времени магнетизм в твердых телах, в зависимости от 1 временной переменной и 1, 2 или 3 пространственных переменных.

Уравнение Ландау – Лифшица.

LLE описывает анизотропный магнит. Уравнение описано в (Фаддеев и Тахтаджан 2007, глава 8) следующим образом: Это уравнение для векторное поле S, другими словами, функция на р^1+п принимая ценности в р³. Уравнение зависит от фиксированной симметричной 3 на 3 матрица J, обычно считается диагональ; то есть, ${\displaystyle J=\operatorname {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})}$. Он задается уравнением движения Гамильтона для Гамильтониан

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)}$

(куда J(S) - квадратичная форма J применительно к вектору S)который

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)}$

В измерениях 1 + 1 это уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)}$

В 2 + 1 измерениях это уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)}$

которая является (2 + 1) -мерной LLE. Для (3 + 1) -мерного случая LLE имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)}$

Интегрируемые сокращения

В общем случае LLE (2) не интегрируется. Но он допускает две интегрируемые редукции:

а) в размерности 1 + 1, то есть Ур. (3) интегрируемо

б) когда ${\displaystyle J=0}$. В этом случае (1 + 1) -мерная ЛУЭ (3) превращается в непрерывное классическое уравнение ферромагнетика Гейзенберга (см., например, Модель Гейзенберга (классическая) ), которая уже интегрируема.

Смотрите также

• Нелинейное уравнение Шредингера.
• Модель Гейзенберга (классическая)
• Спиновая волна
• Микромагнетизм
• Уравнение Ишимори
• Магнит
• Ферромагнетизм

Рекомендации

• Фаддеев, Людвиг Д .; Тахтаджан, Леон А. (2007), Гамильтоновы методы в теории солитонов, Classics in Mathematics, Berlin: Springer, pp. X + 592, стр. Дои:10.1007/978-3-540-69969-9, ISBN  978-3-540-69843-2, МИСТЕР  2348643
• Го, Болинг; Дин, Шицзинь (2008), Уравнения Ландау-Лифшица., Frontiers of Research with Китайская академия наук, World Scientific Publishing Company, ISBN  978-981-277-875-8
• Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагничивания. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка, 1988. - 192 с.