Лямбда-связность - Lambda-connectedness

В Прикладная математика, лямбда-связность (или же λ-связность) имеет дело с частичной связностью для дискретное пространство.

Предположим, что функция на дискретном пространстве (обычно график ) дано. Степень связности (связности) будет определена для измерения связности пространства по отношению к функции. Он был изобретен для создания нового метода изображения сегментация. Этот метод расширился для решения других проблем, связанных с неопределенностью анализа неполной информации. ^[1][2]

Для цифрового изображения и определенного значения ${\displaystyle \lambda }$, два пикселя называются ${\displaystyle \lambda }$-связано, если существует путь, соединяющий эти два пикселя, и связность этого пути не менее ${\displaystyle \lambda }$. ${\displaystyle \lambda }$-связность - это отношение эквивалентности.^[3]

Фон

Связность - основная мера во многих областях математики и социальных наук. В теории графов две вершины называются связными, если между ними есть путь. В топология, две точки соединяются, если существует непрерывная функция, которая может непрерывно перемещаться из одной точки в другую. В науке об управлении, например, в учреждении, два человека связаны между собой, если один человек находится под наблюдением другого. Такие связанные отношения описывают либо полное соединение, либо отсутствие связи. лямбда-связность вводится для измерения неполных или нечетких отношений между двумя вершинами, точками, людьми и т. д.

Фактически частичные отношения изучались в других аспектах. Случайный график теория позволяет назначить вероятность каждому ребру графа. Этот метод предполагает, что в большинстве случаев каждое ребро имеет одинаковую вероятность. С другой стороны, Байесовские сети часто используются для вывода и анализа, когда известны отношения между каждой парой состояний / событий, обозначенных вершинами. Эти отношения обычно представлены условными вероятностями среди этих вершин и обычно получаются извне системы.

${\displaystyle \lambda }$-связность основана на теории графов; однако теория графов имеет дело только с вершинами и ребрами с весами или без них. Чтобы определить частичную, неполную или нечеткую связность, необходимо назначить функцию на вершине графа. Такая функция называется потенциальной функцией. Его можно использовать для представления интенсивности изображения, поверхности XY-домен, или функция полезности управленческой или экономической сети.

Базовые концепты

Обобщенное определение ${\displaystyle \lambda }$-связность можно описать следующим образом: простая система ${\displaystyle \langle G,\rho \rangle }$, куда ${\displaystyle \rho }$ называется потенциальной функцией ${\displaystyle G}$. Если ${\displaystyle \langle G,\rho \rangle }$ это изображение, тогда ${\displaystyle G}$ представляет собой 2D- или 2D-сетку и ${\displaystyle \rho }$ - функция интенсивности. Для цветного изображения можно использовать ${\displaystyle f=({\text{red}},{\text{green}},{\text{blue}})}$ представлять ${\displaystyle \rho }$.

Связь между соседями сначала будет определена на паре соседних точек. Тогда можно определить общую связность для любых двух точек.

Предполагать ${\displaystyle \alpha _{\rho }(x,y)}$ используется для измерения связности соседей x, y, где x и y смежны. грамм = (V, E) конечная последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ называется путем, если ${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})\in E}$.

Путь-связность ${\displaystyle \beta }$ пути ${\displaystyle \pi =\pi (x_{1},x_{n})=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$определяется как

${\displaystyle \beta _{\rho }(\pi (x_{1},x_{n}))=\min\{\alpha _{\rho }(x_{i},x_{i+1})|i=1,\ldots ,n-1\}}$

Наконец, степень связности (связности) двух вершин x, y относительно ${\displaystyle \rho }$ определяется как

${\displaystyle C_{\rho }(x,y)=\max\{\beta (\pi (x,y))|\pi {\text{ is a (simple) path}}.\}}$

Для данного ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$, точка ${\displaystyle p=(x,\rho (x))}$ и ${\displaystyle q=(y,\rho (y))}$ как говорят ${\displaystyle \lambda }$-связано, если ${\displaystyle C_{\rho }(x,y)\geq \lambda }$.

${\displaystyle \lambda }$-связность - это отношение эквивалентности. Его можно использовать при сегментации изображений.

Связь с сегментацией изображений

Сегментация, связанная с лямбда-связью, в целом представляет собой метод сегментации, увеличивающей регион. Его также можно использовать для сегментации «разделить и слить». ^[4] Его временная сложность также достигает оптимума при ${\displaystyle O(nlogn)}$ куда ${\displaystyle n}$ количество пикселей в изображении. Также см .^[5]

Лямбда-связность тесно связана с наукой о данных, которую можно найти в книге под названием «Математические проблемы науки о данных».^[6]

Новые разработки

Недавно исследователи применили соответствующие методы для плавной обработки трехмерных данных и управления транспортной сетью. ^[7][8]

Рекомендации

1. Л. Чен, О. Адджей, Д. Кули, лямбда-связность: метод и приложения, Proc. IEEE Conf on System, Man and Cybernetics 2000, pp 1157–1562, 2000.
2. Л. Чен, О. Аджеи, лямбда-связность и ее приложения, Журнал научных и практических вычислений, том 3, № 1 (2009) 19–52. https://pdfs.semanticscholar.org/c6ac/c97303388fa4cc4eac23c8379c654a31e506.pdf
3. Л. Чен, Х.Д. Ченг и Дж. Чжан, Нечеткое субволокно и его применение к классификации сейсмической литологии, Информационные науки: Приложения, Том 1, № 2, стр 77–95, 1994.
4. Л. Чен, Лямбда-связная сегментация и оптимальный алгоритм для сегментации с разделением и слиянием, Chinese J. Computers, 14 (1991), стр 321-331.
5. Л. Чен, Цифровая и дискретная геометрия, Springer, 2014.
6. Л. Чен, З. Су, Б. Цзян, Математические проблемы в науке о данных, Springer, 2015.
7. Дж. П. Спрэдли, Дж. Д. Пампуш, П. Э. Морс и др. Гладкий оператор: влияние различных протоколов ретриангуляции трехмерной сетки на вычисление нормальной энергии Дирихле. Am J Phys Anthropol 2017; 163: 94-109.
8. К. Ан, Й. Чиу, X. Ху и X. Чен, "Алгоритмический подход к разделению сети для иерархического управления сетью трафика на основе макроскопических фундаментальных диаграмм", IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, vol. 99. С. 1–10, 2017.