Теорема лагранжа (теория чисел) - Lagranges theorem (number theory)

По поводу теоремы Лагранжа см. Теорема Лагранжа (значения).

В теория чисел, Теорема Лагранжа заявление, названное в честь Жозеф-Луи Лагранж о том, как часто многочлен над целые числа может быть кратным фиксированному основной. Точнее, в нем говорится, что если п простое число и ${\displaystyle \textstyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ является многочленом с целыми коэффициентами, то либо:

• каждый коэффициент ж(Икс) делится на п, или же
• ж(Икс) ≡ 0 (мод. п) имеет самое большее град ж(Икс) несовместимые решения

куда град ж(Икс) это степень из ж(Икс). Решения считаются «неконгруэнтными», если они не различаются на кратное п. Если модуль не является простым, то может быть больше, чем град ж(Икс) решения.

Доказательство теоремы Лагранжа

Две ключевые идеи заключаются в следующем. Позволять грамм(Икс) ∈ (Z/п)[Икс] - многочлен, полученный из ж(Икс) взяв коэффициенты мод п. Сейчас же:

1. ж(k) делится на п если и только если грамм(k) = 0; и
2. грамм(Икс) имеет не более чем град грамм(Икс) корни.

Более строго, начните с того, что грамм(Икс) = 0 тогда и только тогда, когда каждый коэффициент ж(Икс) делится на п. Предполагать грамм(Икс) ≠ 0; его степень, таким образом, хорошо определена. Легко увидеть град грамм(Икс) ≤ град ж(Икс). Чтобы доказать (1), сначала отметим, что мы можем вычислить грамм(k) либо напрямую, то есть путем подключения ( класс остатка из) k и выполнение арифметики в Z/п, или уменьшив ж(k) мод п. Следовательно грамм(k) = 0 если и только если ж(k) ≡ 0 (мод. п), т.е. тогда и только тогда, когда ж(k) делится на п. Для доказательства (2) заметим, что Z/п это поле, что является стандартным фактом (быстрое доказательство заключается в том, что, поскольку п простое, Z/п конечный область целостности, значит, поле). Другой стандартный факт состоит в том, что ненулевой многочлен над полем имеет не более чем столько же корней, сколько его степень; это следует из алгоритм деления.

Наконец, обратите внимание, что два решения ж(k₁) ≡ ж(k₂) ≡ 0 (мод. п) неконгруэнтны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle k_{1}\not \equiv k_{2}}$ (мод п). Собирая все вместе, количество инконгруэнтных решений по (1) равно количеству корней грамм(Икс), которая согласно (2) не превосходит град грамм(Икс), что не более град ж(Икс).

Рекомендации

• Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II. Нью-Йорк: Dover Publications. п.42. ISBN  978-0-486-42539-9. Zbl  1009.11001.
• Таттерсолл, Джеймс Дж. (2005). Элементарная теория чисел в девяти главах (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 198. ISBN  0-521-85014-2. Zbl  1071.11002.