Оператор лага - Lag operator

"Backshift" перенаправляется сюда. О лингвистическом смысле см. Последовательность времен.

В Временные ряды анализ, оператор запаздывания (L) или назадоператор смены (B) работает с элементом временного ряда, чтобы произвести предыдущий элемент. Например, учитывая некоторый временной ряд

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}\,}$

тогда

${\displaystyle \,LX_{t}=X_{t-1}}$ для всех ${\displaystyle \;t>1\,}$

или аналогично с точки зрения оператора обратной передачи B: ${\displaystyle \,BX_{t}=X_{t-1}}$ для всех ${\displaystyle \;t>1\,}$. Эквивалентно это определение может быть представлено как

${\displaystyle \,X_{t}=LX_{t+1}}$ для всех ${\displaystyle \;t\geq 1\,}$

Оператор запаздывания (а также оператор обратного сдвига) может быть увеличен до произвольной целочисленной степени, чтобы

${\displaystyle \,L^{-1}X_{t}=X_{t+1}\,}$

и

${\displaystyle \,L^{k}X_{t}=X_{t-k}.\,}$

Полиномы запаздывания

Можно использовать полиномы оператора запаздывания, и это обычное обозначение для ARMA (авторегрессионное скользящее среднее) модели. Например,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}\,}$

указывает AR (п) модель.

А многочлен операторов запаздывания называется полином запаздывания так что, например, модель ARMA может быть кратко определена как

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

куда ${\displaystyle \varphi (L)}$ и ${\displaystyle \theta (L)}$ соответственно представляют собой полиномы запаздывания

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}$

и

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Полиномы операторов запаздывания подчиняются тем же правилам умножения и деления, что и числа и многочлены переменных. Например,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

означает то же самое, что и

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,.}$

Как и в случае с многочленами от переменных, один многочлен в операторе запаздывания можно разделить на другой, используя полиномиальное деление в столбик. В общем случае деление одного такого многочлена на другой, когда каждый из них имеет конечный порядок (наивысший показатель), приводит к многочлену бесконечного порядка.

An оператор-аннигилятор, обозначенный ${\displaystyle [\ ]_{+}}$, удаляет элементы полинома с отрицательной степенью (будущие значения).

Обратите внимание, что ${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$ обозначает сумму коэффициентов:

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

Оператор разницы

Основная статья: Конечная разница

В анализе временных рядов первый оператор разности:${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\nabla X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\nabla X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{array}}}$

Точно так же второй оператор разности работает следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\nabla X_{t})&=\nabla X_{t}-\nabla X_{t-1}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)\nabla X_{t}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

Вышеупомянутый подход обобщает я-й разностный оператор${\displaystyle \nabla ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

Условное ожидание

В стохастических процессах принято заботиться об ожидаемом значении переменной с учетом предыдущего набора информации. Позволять ${\displaystyle \Omega _{t}}$ быть всей информацией, которая известна в то время т (это часто указывается под оператором ожидания); тогда ожидаемая стоимость реализации Икс, j временные шаги в будущем могут быть записаны эквивалентно как:

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}]\,.}$

С учетом этих зависящих от времени условных ожиданий необходимо различать оператор обратного сдвига (B), который регулирует только дату прогнозируемой переменной и оператора запаздывания (L), который одинаково регулирует дату прогнозируемой переменной и набор информации:

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}]\,,}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}]\,.}$

Смотрите также

• Авторегрессионная модель
• Модель авторегрессионного скользящего среднего
• Модель скользящего среднего
• Оператор сдвига
• Z-преобразование

Рекомендации

• Гамильтон, Джеймс Дуглас (1994). Анализ временных рядов. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-04289-6.
• Вербеек, Марно (2008). Руководство по современной эконометрике. Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-470-51769-7.
• Вайсштейн, Эрик. "Wolfram MathWorld". WolframMathworld: Оператор разности. Wolfram Research. Получено 10 ноября 2017.
• Box, George E. P .; Jenkins, Gwilym M .; Reinsel, Gregory C .; Юнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN  978-1-118-67502-1.