Теорема Леви о непрерывности - Lévys continuity theorem

В теория вероятности, Теорема Леви о непрерывности, или же Теорема сходимости Леви,^[1] назван в честь французов математик Поль Леви, соединяет конвергенция в распределении последовательности случайных величин с поточечная сходимость от их характеристические функции. Эта теорема является основой одного подхода к доказательству Центральная предельная теорема и это одна из основных теорем, касающихся характеристических функций.

Заявление

Предположим, у нас есть

последовательность случайные переменные ${ textstyle {X_ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ , не обязательно разделять общие вероятностное пространство,
последовательность соответствующих характеристические функции ${ textstyle { varphi _ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ , которые по определению
${ displaystyle varphi _ {n} (t) = operatorname {E} e ^ {itX_ {n}} quad forall t in mathbb {R}, forall n in mathbb {N} ,}$
куда ${ displaystyle operatorname {E}}$ это ожидаемое значение оператор.

Если последовательность характеристических функций сходится поточечно к какой-то функции ${ displaystyle varphi}$

{ displaystyle varphi _ {n} (t) to varphi (t) quad forall t in mathbb {R},}

тогда следующие утверждения становятся эквивалентными:

${ displaystyle X_ {n}}$ сходится в распределении некоторым случайная переменная Икс
${ Displaystyle X_ {п} { xrightarrow { mathcal {D}}} X,}$
т.е. кумулятивные функции распределения, соответствующие случайным величинам, сходятся в каждой точке непрерывности КДФ. изИкс;
${ textstyle {X_ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ является в обтяжку:
${ displaystyle lim _ {x to infty} left ( sup _ {n} operatorname {P} { big [} , | X_ {n} |> x , { big]} справа) = 0;}$
${ Displaystyle varphi (т)}$ является характеристической функцией некоторой случайной величины Икс;
${ Displaystyle varphi (т)}$ это непрерывная функция из т;
${ Displaystyle varphi (т)}$ является непрерывный в т = 0.

Имеются строгие доказательства этой теоремы.^[1]^[2]