Теорема Куненса о несогласованности - Kunens inconsistency theorem

В теория множеств, раздел математики, Теорема Кунена о непротиворечивости, доказано Кеннет Кунен  (1971 ), показывает, что несколько правдоподобных большой кардинал аксиомы непоследовательный с аксиома выбора.

Некоторые следствия теоремы Кунена (или ее доказательства):

• Нет нетривиального элементарное вложение Вселенной V в себя. Другими словами, нет Кардинал Рейнхардта.
• Если j является элементарным вложением вселенной V во внутреннюю модель M, λ - наименьшая неподвижная точка j выше критическая точка κ из j, тогда M не содержит набор j "λ (образ j ограничен до λ).
• Здесь нет ω-огромный кардинал.
• Нет нетривиального элементарного вложения V_{λ + 2} в себя.

Неизвестно, выполняется ли теорема Кунена в ZF (ZFC без аксиомы выбора), хотя Сузуки (1999) показал, что не существует определимого элементарного вложения из V в V. То есть формулы нет J на языке теории множеств, что для некоторого параметра п∈V для всех комплектов Икс∈V и у∈V: ${\displaystyle j(x)=y\leftrightarrow J(x,y,p)\,.}$

Kunen использовал Теория множеств Морса – Келли в его доказательстве. Если доказательство переписывается для использования ZFC, то нужно добавить предположение, что замена выполняется для формул, содержащих j. Иначе нельзя было бы даже показать, что j "λ существует как множество. Запрещенное множество j "λ имеет решающее значение для доказательства. Доказательство сначала показывает, что оно не может быть M. Остальные части теоремы вытекают из этого.

Возможно иметь модели теории множеств, которые имеют элементарные вложения в самих себя, по крайней мере, если предположить некоторые мягкие большие кардинальные аксиомы. Например, если 0# существует, то существует элементарное вложение из конструируемая вселенная L в себя. Это не противоречит теореме Кунена, потому что если существует 0 #, то L не может быть всей вселенной множеств.

Смотрите также

• Ранг в ранг

Рекомендации

• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-540-88867-3, ISBN  978-3-540-00384-7
• Кунен, Кеннет (1971), "Элементарные вложения и бесконечная комбинаторика", Журнал символической логики, 36 (3): 407–413, Дои:10.2307/2269948, JSTOR  2269948, МИСТЕР  0311478
• Сузуки, Акира (1999), «Никакое элементарное вложение из V в V не может быть определено с помощью параметров», Журнал символической логики, 64 (4): 1591–1594, Дои:10.2307/2586799, ISSN  0022-4812, МИСТЕР  1780073
• Zapletal, Jindřich (1996), "Новое доказательство непоследовательности Кунена", Труды Американского математического общества, 124 (7): 2203–2204, Дои:10.1090 / S0002-9939-96-03281-9, ISSN  0002-9939, МИСТЕР  1317054