Теорема Кохена – Шпекера - Kochen–Specker theorem

В квантовая механика, то Кохен – Шпекер (KS) теорема,^[1] также известный как Теорема Белла – Кохена – Спекера.,^[2] это теорема о запрете^[3] доказано Джон С. Белл в 1966 г. и к Саймон Б. Кочен и Эрнст Шпекер в 1967 году. Он накладывает определенные ограничения на допустимые типы теории скрытых переменных, которые пытаются объяснить предсказания квантовая механика контекстно-независимым способом. Версия теоремы, доказанная Кохеном и Спекером, также дала явный пример этого ограничения в терминах конечного числа векторов состояния.

Теорема является дополнением к Теорема Белла (следует отличать от теоремы (Белла) Кохена – Спекера из этой статьи). Хотя теорема Белла установила нелокальность быть особенностью любой теории скрытых переменных, которая восстанавливает предсказания квантовой механики, теорема К.С. контекстуальность быть неизбежной чертой таких теорий.

Теорема доказывает, что существует противоречие между двумя основными предположениями теорий скрытых переменных, предназначенных для воспроизведения результатов квантовой механики: что все скрытые переменные, соответствующие квантово-механическим наблюдаемым, имеют определенные значения в любой момент времени, и что значения эти переменные являются внутренними и не зависят от устройства, используемого для их измерения. Противоречие вызвано тем, что квантово-механические наблюдаемые не обязательно коммутативный. Одновременно вложить все коммутирующие подалгебры алгебра этих наблюдаемых в одной коммутативной алгебре, которая, как предполагается, представляет классическую структуру теории скрытых переменных, если Гильбертово пространство размерность не менее трех.

Теорема Кохена – Шпекера исключает теории скрытых переменных которые предполагают, что элементы физической реальности могут быть последовательно представлены одновременно квантово-механическим формализмом гильбертова пространства, игнорируя контекст конкретной структуры (технически проективное разложение тождественного оператора), связанной с рассматриваемым экспериментом или аналитической точкой зрения. Как лаконично сформулировано Isham и Баттерфилд,^[4] (в предположении универсального вероятностного пространства выборок, как в неконтекстных теориях скрытых переменных) теорема Кохена – Шпекера «утверждает невозможность присвоения значений всем физическим величинам, в то же время сохраняя функциональные отношения между ними».

История

Теорема KS - важный шаг в дебатах о (не) полноте квантовой механики, усиленных в 1935 году критикой теории Копенгагенское предположение о полноте в статье Эйнштейна, Подольского и Розена, создав так называемую Парадокс ЭПР. Этот парадокс вытекает из предположения, что результат квантово-механического измерения генерируется детерминированным образом как следствие существования элемент физической реальности Предполагается, что она присутствует до измерения как свойство микроскопического объекта. В статье EPR было предполагается что измеренное значение квантово-механической наблюдаемой может играть роль такого элемента физической реальности. Как следствие этого метафизического предположения, критика ЭПР не была воспринята очень серьезно большинством физического сообщества. Более того, в его ответе^[5] Бор указал на двусмысленность в статье EPR, заключающуюся в том, что в ней предполагается, что значение квантово-механической наблюдаемой неконтекстно (то есть не зависит от схемы измерения). По мнению Бора, учет контекстуальности, проистекающей из схемы измерения, сделает рассуждения ЭПР устаревшими. Впоследствии Эйнштейн заметил^[6] что опора Бора на контекстуальность подразумевает нелокальность («жуткое действие на расстоянии»), и что, как следствие, нужно принять неполноту, если вы хотите избежать нелокальности.

В 1950-х и 1960-х годах для тех, кто был не против метафизики, были открыты две линии развития, обе линии улучшали теорему о запрете, представленную фон Нейман,^[7] с целью доказать невозможность теорий скрытых переменных, дающих те же результаты, что и квантовая механика. Первый, Бом разработал интерпретация квантовой механики, общепринято как теория скрытых переменных лежащая в основе квантовой механики. Нелокальность теории Бома вызвала Колокол предположить, что квантовая реальность неместный, и это, вероятно, только местный Теории скрытых переменных не согласуются с квантовой механикой. Что еще более важно, Беллу удалось поднять проблему с уровня метафизики на физику, выведя неравенство Неравенство Белла, что поддается экспериментальной проверке.

Вторая линия - линия Кохена – Шпекера. Существенное отличие от подхода Белла состоит в том, что возможность подкрепления квантовой механики теорией скрытых переменных рассматривается независимо от любых ссылок на локальность или нелокальность, но вместо этого делается более сильное ограничение, чем локальность, а именно то, что скрытые переменные связаны исключительно с измеряемая квантовая система; ни один из них не связан с измерительным прибором. Это называется допущением неконтекстуальности. Контекстуальность здесь связана с всовместимость квантово-механических наблюдаемых, несовместимость связана с взаимоисключающими механизмами измерения. Теорема Кохена – Шпекера утверждает, что никакая неконтекстная модель со скрытыми переменными не может воспроизвести предсказания квантовой теории, когда размерность гильбертова пространства равна трем или более.

Белл опубликовал доказательство теоремы Кохена – Спекера в 1966 году в статье, которая была отправлена ​​в журнал раньше, чем его знаменитая статья о неравенстве Белла, но на два года потерялась на столе редактора. Значительно более простые доказательства, чем доказательство Кохена – Шпекера, были даны позже, среди прочего, Мермин^[8][9] и по Перес.^[10] Однако многие более простые доказательства устанавливают теорему только для гильбертовых пространств более высокой размерности, например, для размерности четыре.

Обзор

Теорема KS исследует, возможно ли вложить набор квантово-механических наблюдаемых в набор классический величин, несмотря на то, что все классические величины взаимно совместимы. Первое наблюдение, сделанное в статье Кохена – Шпекера, состоит в том, что это возможно тривиальным образом, а именно, игнорируя алгебраическую структуру множества квантово-механических наблюдаемых . Действительно, пусть п_А(а_k) - вероятность того, что наблюдаемые А имеет ценность а_k, то произведение Π_А п_А(а_k), взятые по всем возможным наблюдаемым А, является действительным совместное распределение вероятностей, что дает все вероятности квантово-механических наблюдаемых, взяв маргиналы. Кохен и Спекер отмечают, что это совместное распределение вероятностей неприемлемо, поскольку оно игнорирует все корреляции между наблюдаемыми. Таким образом, в квантовой механике А² имеет ценность а_k² если А имеет ценность а_k, подразумевая, что значения А и А² сильно коррелированы.

В более общем плане Кохен и Спекер требуют, чтобы для произвольной функции ж Значение ${\displaystyle v{\big (}f(\mathbf {A} ){\big )}}$ наблюдаемых ${\displaystyle f(\mathbf {A} )}$ удовлетворяет

${\displaystyle v{\big (}f(\mathbf {A} ){\big )}=f{\big (}v(\mathbf {A} ){\big )}.}$

Если А₁ и А₂ находятся совместимый (соизмеримых) наблюдаемых, то по той же причине мы должны иметь следующие два равенства:

${\displaystyle v(c_{1}\mathbf {A} _{1}+c_{2}\mathbf {A} _{2})=c_{1}v(\mathbf {A} _{1})+c_{2}v(\mathbf {A} _{2}),}$

${\displaystyle c_{1}}$ и ${\displaystyle c_{2}}$ настоящий, и

${\displaystyle v(\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2})=v(\mathbf {A} _{1})v(\mathbf {A} _{2}).}$

Первое из них является значительным ослаблением по сравнению с предположением фон Неймана о том, что это равенство должно выполняться независимо от того, А₁ и А₂ совместимы или несовместимы. Кочен и Спекер смогли доказать, что присвоение значений невозможно даже на основе этих более слабых предположений. Для этого они ограничили наблюдаемые специальным классом, а именно так называемыми наблюдаемыми да – нет, имеющими только значения 0 и 1, соответствующие проекция операторы на собственных векторах некоторых ортогональных базисов гильбертова пространства.

Поскольку гильбертово пространство хотя бы трехмерно, им удалось найти набор из 117 таких операторов проектирования, нет позволяя однозначно приписать каждому из них либо значение 0, либо 1. Вместо довольно сложного доказательства Кохена и Шпекера более поучительно воспроизвести здесь одно из гораздо более простых доказательств, данных много позже, в котором используется меньшее число. операторов проектирования, но доказывает теорему только тогда, когда размерность гильбертова пространства не меньше 4. Оказывается, что можно получить аналогичный результат на основе набора всего 18 операторов проектирования.^[11]

Для этого достаточно понять, что если ты₁, ты₂, ты₃ и ты₄ - четыре ортогональных вектора ортогонального базиса в четырехмерном гильбертовом пространстве, то операторы проектирования п₁, п₂, п₃, п₄ на этих векторах все взаимно коммутируют (и, следовательно, соответствуют совместимым наблюдаемым, что позволяет одновременное присвоение значений 0 или 1). С

${\displaystyle \mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4}=\mathbf {I} ,}$

следует, что

${\displaystyle v(\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4})=v(\mathbf {I} )=1.}$

Но с тех пор

${\displaystyle v(\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4})=v(\mathbf {P} _{1})+v(\mathbf {P} _{2})+v(\mathbf {P} _{3})+v(\mathbf {P} _{4}),}$

это следует из ${\displaystyle v(\mathbf {P} _{i})}$ = 0 или 1, ${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$, что из четырех значений ${\displaystyle v(\mathbf {P} _{1}),v(\mathbf {P} _{2}),v(\mathbf {P} _{3}),v(\mathbf {P} _{4})}$ один должен быть равен 1, а три других - 0.

Кабельо,^[12][13] расширение аргумента, разработанного Кернаганом^[14] рассмотрены 9 ортогональных базисов, каждый базис соответствует столбцу следующей таблицы, в которой базисные векторы явно отображаются. Базы выбираются таким образом, чтобы каждый проектор появлялся ровно в двух контекстах, тем самым устанавливая функциональные отношения между контекстами.

ты1	(0, 0, 0, 1)	(0, 0, 0, 1)	(1, −1, 1, −1)	(1, −1, 1, −1)	(0, 0, 1, 0)	(1, −1, −1, 1)	(1, 1, −1, 1)	(1, 1, −1, 1)	(1, 1, 1, −1)
ты2	(0, 0, 1, 0)	(0, 1, 0, 0)	(1, −1, −1, 1)	(1, 1, 1, 1)	(0, 1, 0, 0)	(1, 1, 1, 1)	(1, 1, 1, −1)	(−1, 1, 1, 1)	(−1, 1, 1, 1)
ты3	(1, 1, 0, 0)	(1, 0, 1, 0)	(1, 1, 0, 0)	(1, 0, −1, 0)	(1, 0, 0, 1)	(1, 0, 0, −1)	(1, −1, 0, 0)	(1, 0, 1, 0)	(1, 0, 0, 1)
ты4	(1, −1, 0, 0)	(1, 0, −1, 0)	(0, 0, 1, 1)	(0, 1, 0, −1)	(1, 0, 0, −1)	(0, 1, −1, 0)	(0, 0, 1, 1)	(0, 1, 0, −1)	(0, 1, −1, 0)

Теперь следует из теоремы о запрете действий убедиться, что следующее невозможно: поместить значение, либо 1, либо 0, в каждую ячейку приведенной выше таблицы таким образом, чтобы:

(а) значение 1 появляется ровно один раз в столбце, остальные записи в столбце равны 0;

(б) ячейки одинакового цвета содержат одно и то же значение - либо оба содержат 1, либо оба содержат 0.

Так получилось, что все, что нам осталось сделать, это задать вопрос: сколько раз значение 1 должно появиться в таблице? С одной стороны, (а) означает, что 1 должна появиться 9 раз: есть 9 столбцов, а (а) говорит, что 1 должна появляться ровно один раз в столбце. С другой стороны, (b) подразумевает, что 1 должна встречаться четное количество раз: все секции входят в пары одинакового цвета, а (b) говорит, что если один член пары содержит 1, то другой член должен содержать 1 также. Повторюсь: (а) говорит, что 1 встречается 9 раз, а (б) говорит, что она встречается четное количество раз. Так как 9 не является четным, отсюда следует, что (a) и (b) противоречат друг другу; никакое распределение единиц и нулей по отсекам не могло удовлетворить обоих.

Обычное доказательство теоремы Белла (ЧШ неравенство ) также может быть преобразовано в простое доказательство теоремы КС в размерности не менее 4. Схема Белла включает четыре измерения с четырьмя исходами (четыре пары одновременных бинарных измерений в каждом крыле эксперимента) и четыре измерения с двумя результатами (два бинарные измерения в каждом крыле эксперимента без сопровождения), то есть 24 оператора проекции.

Замечания

Контекстуальность

Основная статья: Квантовая контекстуальность

В статье Кохена – Спекера обсуждается возможность того, что ценностная атрибуция ${\displaystyle v(\mathbf {A} )}$ могут быть контекстно-зависимыми, т.е. наблюдаемые, соответствующие равным векторам в разных столбцах таблицы, не обязательно должны иметь одинаковые значения, потому что разные столбцы соответствуют разные средства измерения. Поскольку субквантовая реальность (как описано в теории скрытых переменных) может зависеть от контекста измерения, вполне возможно, что отношения между квантово-механическими наблюдаемыми и скрытыми переменными просто гомоморфный а не изоморфный. Это сделало бы устаревшим требование независимой от контекста атрибуции значений. Следовательно, теорема KS исключает только неконтекстные теории скрытых переменных. Возможность контекстности породила так называемое модальные интерпретации квантовой механики.

Различные уровни описания

Теорема KS доказывает невозможность предположения Эйнштейна о том, что элемент физической реальности представлен значением квантово-механической наблюдаемой. Значение квантово-механической наблюдаемой относится в первую очередь к конечному положению стрелки измерительного инструмента, которое возникает только во время измерения и по этой причине не может играть роль элемента физического реальность. Элементы физической реальности, если они существуют, по-видимому, нуждаются в теории субквантов (скрытых переменных) для их описания, а не в квантовой механике. В более поздних публикациях^[15] Неравенства Белла обсуждаются на основе теорий скрытых переменных, в которых предполагается, что скрытая переменная относится к субквант свойство микроскопического объекта отличается от значения квантовомеханической наблюдаемой. Это открывает возможность различать разные уровни реальности, описываемые разными теориями, которые уже практиковались Луи де Бройль. Для таких более общих теорий теорема КС применима только в том случае, если предполагается, что измерение является точным в том смысле, что существует детерминированный связь между субквантовым элементом физической реальности и значением наблюдаемой, обнаруженной при измерении.

Смотрите также

• Квантовые основы

Рекомендации

1. С. Кочен; Э. П. Спекер (1967). «Проблема скрытых переменных в квантовой механике». Журнал математики и механики. 17 (1): 59–87. Дои:10.1512 / iumj.1968.17.17004. JSTOR  24902153.
2. Белл, Джон С. (1966). «К проблеме скрытых переменных в квантовой механике». Обзоры современной физики. 38 (3): 447–452. Bibcode:1966РвМП ... 38..447Б. Дои:10.1103 / RevModPhys.38.447. ISSN  0034-6861. OSTI  1444158.
3. Баб, Джеффри (1999). Интерпретация квантового мира (переработанное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-65386-2.
4. Ишем, К. Дж.; Баттерфилд, Дж. (1998). "Топосный взгляд на теорему Кохена-Шпекера: I. Квантовые состояния как обобщенные оценки". Международный журнал теоретической физики. 37 (11): 2669–2733. arXiv:Quant-ph / 9803055v4. Дои:10.1023 / А: 1026680806775. ISSN  0020-7748. S2CID  6489803.
5. Бор, Н. (1935). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?». Физический обзор. 48 (8): 696–702. Bibcode:1935ПхРв ... 48..696Б. Дои:10.1103 / PhysRev.48.696. ISSN  0031-899X.
6. Эйнштейн, А. (1948). "Quanten-Mechanik und Wirklichkeit". Диалектика (на немецком). 2 (3–4): 320–324. Дои:10.1111 / j.1746-8361.1948.tb00704.x. ISSN  0012-2017.
7. Дж. Фон Нейман, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Берлин, 1932 г .; Английский перевод: Математические основы квантовой механики, Princeton Univ. Press, 1955, Глава IV.1,2.
8. Мермин, Н. Дэвид (1990). «Что не так с этими элементами реальности?». Физика сегодня. 43 (6): 9–11. Bibcode:1990ФТ .... 43ф ... 9М. Дои:10.1063/1.2810588. ISSN  0031-9228.
9. Мермин, Н. Дэвид (1990). «Простая унифицированная форма для основных теорем об отсутствии скрытых переменных». Письма с физическими проверками. 65 (27): 3373–3376. Bibcode:1990ПхРвЛ..65.3373М. Дои:10.1103 / PhysRevLett.65.3373. ISSN  0031-9007. PMID  10042855.
10. Перес, А (1991). «Два простых доказательства теоремы Кохена-Шпекера». Журнал физики A: математические и общие. 24 (4): L175 – L178. Bibcode:1991JPhA ... 24L.175P. Дои:10.1088/0305-4470/24/4/003. ISSN  0305-4470.
11. Кернаган, Майкл; Перес, Ашер (1995). «Теорема Кохена-Шпекера для восьмимерного пространства». Письма о физике A. 198 (1): 1–5. arXiv:Quant-ph / 9412006. Bibcode:1995ФЛА..198 .... 1К. Дои:10.1016 / 0375-9601 (95) 00012-П. ISSN  0375-9601. S2CID  17413808.
12. А. Кабелло, «Доказательство теоремы Белла – Кохена – Шпекера с 18 векторами», в: М. Ферреро и А. ван дер Мерве (ред.), Новые разработки по фундаментальным проблемам квантовой физики, Kluwer Academic, Dordrecht, Голландия, 1997, 59–62
13. Кабельо, Адан; Estebaranz, JoséM .; Гарсия-Алкаин, Гильермо (1996). «Теорема Белла-Кохена-Шпекера: доказательство с 18 векторами». Письма о физике A. 212 (4): 183–187. arXiv:Quant-ph / 9706009v1. Bibcode:1996ФЛА..212..183С. Дои:10.1016 / 0375-9601 (96) 00134-Х. ISSN  0375-9601. S2CID  5976402.
14. Кернаган, М. (1994). «Теорема Белла-Кохена-Шпекера для 20 векторов». Журнал физики A: математические и общие. 27 (21): L829 – L830. Bibcode:1994JPhA ... 27Л.829К. Дои:10.1088/0305-4470/27/21/007. ISSN  0305-4470.
15. Клаузер, Джон Ф .; Хорн, Майкл А. (1974). «Экспериментальные следствия объективных локальных теорий». Физический обзор D. 10 (2): 526–535. Bibcode:1974ПхРвД..10..526С. Дои:10.1103 / PhysRevD.10.526. ISSN  0556-2821.

внешняя ссылка

• Карстен Хельд, Теорема Кохена – Шпекера., Стэнфордская энциклопедия философии *[1]
• С. Кочен, Э. П. Спекер, Проблема скрытых переменных в квантовой механике, Полный текст [2]