Принцип неопределенности Купфмюллера - Küpfmüllers uncertainty principle

Принцип неопределенности Купфмюллера к Карл Кюпфмюллер утверждает, что отношение времени нарастания сигнала с ограниченной полосой пропускания к его ширине полосы постоянно.

${\displaystyle \Delta f\Delta t\geq k}$

с ${\displaystyle k}$ либо ${\displaystyle 1}$ или же ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Доказательство

Сигнал с ограниченной полосой пропускания ${\displaystyle u(t)}$ с преобразование Фурье ${\displaystyle {\hat {u}}(f)}$ в частотном пространстве дается умножением любого сигнала ${\displaystyle {\underline {\hat {u}}}(f)}$ с ${\displaystyle {\hat {u}}(f)={{\underline {\hat {u}}}(f)}{{\Big |}_{\Delta f}}}$ с прямоугольная функция ширины ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{\Delta f}}\right)=\chi _{[-\Delta f/2,\Delta f/2]}(f):={\begin{cases}1&|f|\leq \Delta f/2\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

как (применяя теорема свертки )

${\displaystyle {\hat {g}}(f)\cdot {\hat {u}}(f)=(g*u)(t)}$

Поскольку преобразование Фурье прямоугольной функции есть функция sinc и наоборот, следует

${\displaystyle g(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-{\frac {\Delta f}{2}}}^{\frac {\Delta f}{2}}1\cdot e^{j2\pi ft}df={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \Delta f\cdot \operatorname {si} \left({\frac {2\pi t\cdot \Delta f}{2}}\right)}$

Теперь первый корень ${\displaystyle g(t)}$ я сидела ${\displaystyle \pm {\frac {1}{\Delta f}}}$, что является временем нарастания ${\displaystyle \Delta t}$ из пульс ${\displaystyle g(t)}$, теперь следует

${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{\Delta f}}}$

Равенство дается до тех пор, пока ${\displaystyle \Delta t}$ конечно.

Учитывая, что реальный сигнал имеет как положительные, так и отрицательные частоты одной и той же полосы частот, ${\displaystyle \Delta f}$ становится ${\displaystyle 2\cdot \Delta f}$,что приводит к ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}}$ вместо ${\displaystyle k=1}$

Рекомендации

• Кюпфмюллер, Карл; Кон, Герхард (2000), Теоретическая электротехника и электроника, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56500-0.