Теорема Юрката – Ришерта - Jurkat–Richert theorem

В Теорема Юрката – Ришерта это математическая теорема в теория сита. Это ключевой ингредиент доказательств Теорема Чена на Гипотеза Гольдбаха.^[1]:272Это было доказано в 1965 году Вольфгангом Б. Юркатом и Ханс-Эгон Рихерт.^[2]

Формулировка теоремы

Этот состав от Diamond & Гальберштам.^[3]:81Другие составы находятся в Jurkat & Richert,^[2]:230 Хальберштам и Рихерт,^[4]:231и Натансон.^[1]:257

Предполагать А конечная последовательность целых чисел и п представляет собой набор простых чисел. Написать А_d для количества позиций в А которые делятся на d, и писать п(z) для произведения элементов в п что меньше чем z. Напишите ω (d) для мультипликативная функция такое, что ω (п)/п примерно пропорция элементов А делится на п, записывать Икс для любого удобного приближения к |А|, а остаток запишем как

${displaystyle r_{A}(d)=left|A_{d}ight|-{frac {omega (d)}{d}}X.}$

Написать S(А,п,z) для количества элементов в А которые относительно просты с п(z). Написать

${displaystyle V(z)=prod _{pin P,p<z}left(1-{frac {omega (p)}{p}}ight).}$

Напишите ν (м) для числа различных простых делителей числа м. Написать F₁ и ж₁ для функций, удовлетворяющих определенным разностным дифференциальным уравнениям (см. Diamond & Halberstam^[3]:67–68 для определения и свойств).

Мы предполагаем, что размерность (плотность просеивания) равна 1: то есть существует постоянная C такое, что при 2 ≤ z < ш у нас есть

${displaystyle prod _{zleq p<w}left(1-{frac {omega (p)}{p}}ight)^{-1}leq left({frac {log w}{log z}}ight)left(1+{frac {C}{log z}}ight).}$

(Книга Diamond & Halberstam^[3] распространяет теорему на размерности выше 1.) Тогда теорема Юрката – Рихерта утверждает, что для любых чисел у и z с 2 ≤ z ≤ у ≤ Икс у нас есть

${displaystyle S(A,P,z)leq XV(z)left(F_{1}left({frac {log y}{log z}}ight)+Oleft({frac {(log log y)^{3/4}}{(log y)^{1/4}}}ight)ight)+sum _{m|P(z),m<y}4^{u (m)}left|r_{A}(m)ight|}$

и

${displaystyle S(A,P,z)geq XV(z)left(f_{1}left({frac {log y}{log z}}ight)-Oleft({frac {(log log y)^{3/4}}{(log y)^{1/4}}}ight)ight)-sum _{m|P(z),m<y}4^{u (m)}left|r_{A}(m)ight|.}$

Примечания

1. Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы. Тексты для выпускников по математике. 164. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94656-6. Zbl  0859.11003. Получено 2009-03-14.
2. Jurkat, W. B .; Richert, H.-E. (1965). «Улучшение метода сита Сельберга I» (PDF). Acta Arithmetica. XI: 217–240. ISSN  0065-1036. Zbl  0128.26902. Получено 2009-02-17.
3. Diamond, Harold G .; Хальберштам, Хайни (2008). Метод многомерного сита: с процедурами вычисления ситовых функций. Кембриджские трактаты по математике. 177. С Уильямом Ф. Голуэем. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89487-6. Zbl  1207.11099.
4. Хальберштам, Хайни; Richert, H.-E. (1974). Ситовые методы. Монографии Лондонского математического общества. 4. Лондон: Academic Press. ISBN  0-12-318250-6. МИСТЕР  0424730. Zbl  0298.10026.