Схема Джонсона - Johnson scheme

В математике Схема Джонсона, названный в честь Селмер М. Джонсон, также известен как треугольный схема ассоциации. Он состоит из набора всех двоичных векторов Икс длины ℓ а весп, так что ${\displaystyle v=\left|X\right|={\binom {\ell }{n}}}$.^[1][2][3] Два вектораИкс, у ∈ Икс называются яth ассоциирует, если dist (Икс, у) = 2я за я = 0, 1, ..., п. В собственные значения даны

${\displaystyle p_{i}\left(k\right)=E_{i}\left(k\right),}$

${\displaystyle q_{k}\left(i\right)={\frac {\mu _{k}}{v_{i}}}E_{i}\left(k\right),}$

куда

${\displaystyle \mu _{i}={\frac {\ell -2i+1}{\ell -i+1}}{\binom {\ell }{i}},}$

и E_k(Икс) является Полином Эберлейна определяется

${\displaystyle E_{k}\left(x\right)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {x}{j}}{\binom {n-x}{k-j}}{\binom {\ell -n-x}{k-j}},\qquad k=0,\ldots ,n.}$

Рекомендации

1. Делсарт П., Левенштейн В. И. Схемы ассоциаций и теория кодирования. IEEE Trans. Инф. Теория, т. 44, нет. 6. С. 2477–2504, 1998.
2. П. Камион, «Коды и схемы ассоциации: основные свойства схем ассоциации, относящиеся к кодированию», in Справочник по теории кодирования, В. С. Плесс и В. К. Хаффман, ред., Elsevier, Нидерланды, 1998.
3. Ф. Дж. Мак-Вильямс и Н. Дж. А. Слоан, Теория кодов, исправляющих ошибки, Эльзевир, Нью-Йорк, 1978.