Изопараметрическое многообразие - Isoparametric manifold

В Риманова геометрия, изопараметрическое многообразие это тип (погруженный) подмногообразие из Евклидово пространство чей нормальный комплект плоский и чей основные кривизны постоянны по любому параллельно нормальное векторное поле. Множество изопараметрических многообразий устойчиво относительно средняя кривизна потока.

Примеры

Прямая на плоскости - очевидный пример изопараметрического многообразия. Любое аффинное подпространство евклидова n-мерного пространства также является примером, поскольку главные кривизны любого оператора формы равны нулю. Другой простейший пример изопараметрического многообразия - сфера в евклидовом пространстве.

Другой пример выглядит следующим образом. Предположим, что грамм это Группа Ли и грамм/ЧАС это симметричное пространство с каноническим разложением

${displaystyle mathbf {g} =mathbf {h} oplus mathbf {p} }$

из Алгебра Ли грамм из грамм в прямая сумма (ортогональные относительно Форма убийства ) алгебры Ли час или же ЧАС с дополнительным подпространством п. Тогда директор орбита из присоединенное представительство из ЧАС на п является изопараметрическим многообразием в п. Не главные орбиты являются примерами так называемых подмногообразия с главными постоянными кривизнами. Фактически, по теореме Торбергссона любое полное, полное и неприводимое изопараметрическое подмногообразие коразмерности> 2 является орбитой s-представления, то есть H-орбитой, как указано выше, где симметрическое пространство грамм/ЧАС не имеет плоского фактора.

Теория изопараметрических подмногообразий глубоко связана с теорией группы голономии. Фактически любое изопараметрическое подмногообразие расслаивается на трубки голономии подмногообразия с постоянной главной кривизной, т. Е. Фокального подмногообразия. Статья «Подмногообразия с постоянной главной кривизной и нормальные группы голономии».^[1] это очень хорошее введение в такую ​​теорию. Более подробные объяснения голономических трубок и фокализаций см. В книге. Подмногообразия и голономия.^[2]

Рекомендации

1. Э. Хайнце, К. Олмос и Г. Торбергссон (1991) Подмногообразия с постоянной главной кривизной и нормальные группы голономии, Международный журнал математики 2:167–75
2. Дж. Берндт, С. Консоль и К. Олмос (2003) Подмногообразия и голономия, Чепмен и Холл

• Ферус, Д., Керхер, Х., и Мюнцнер, Х.Ф. (1981). "Cliffordalgebren und neue isoparametrische Hyperflächen". Математика. Z. 177 (4): 479–502. Дои:10.1007 / BF01219082.
• Palais, RS и Terng, C-L (1987). «Общая теория канонических форм». Труды Американского математического общества. Труды Американского математического общества, Vol. 300, №2. 300 (2): 771–789. Дои:10.2307/2000369. JSTOR  2000369.
• Terng, C.-L (1985). «Изопараметрические подмногообразия и их группы Кокстера». Журнал дифференциальной геометрии. 21: 79–107. Дои:10.4310 / jdg / 1214439466.
• Торбергссон, Г. (1991). «Изопараметрические подмногообразия и их построения». Анна. Математика. 133: 429–446. Дои:10.2307/2944343. JSTOR  2944343.

Смотрите также

• Изопараметрическая функция