Последовательность иррациональности - Irrationality sequence

В математике последовательность натуральных чисел а_п называется последовательность иррациональности если у него есть свойство, что для каждой последовательности Икс_п натуральных чисел, сумма ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

существует (то есть сходится ) и является иррациональный номер.^[1][2] Проблема характеристики последовательностей иррациональности была поставлена Пол Эрдёш и Эрнст Г. Штраус, который первоначально назвал свойство быть последовательностью иррациональности «Свойством P».^[3]

Примеры

В степени двойки, экспоненты которых являются степенями двойки, ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$, образуют иррациональную последовательность. Однако хотя Последовательность Сильвестра

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, ...

(в котором каждый член на один больше, чем произведение всех предыдущих членов) также растет вдвойне экспоненциально, это не образует иррациональной последовательности. Ибо, позволяя ${\displaystyle x_{n}=1}$ для всех ${\displaystyle n}$ дает

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,}$

ряд, сходящийся к Рациональное число. Точно так же факториалы, ${\displaystyle n!}$, не образуют иррациональной последовательности, потому что последовательность, заданная ${\displaystyle x_{n}=n+2}$ для всех ${\displaystyle n}$ приводит к ряду с рациональной суммой,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1.}$^[1]

Скорость роста

Для любой последовательности а_п чтобы быть иррациональной последовательностью, она должна расти с такой скоростью, чтобы

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \log a_{n}}{n}}\geq \log 2}$.^[4]

Сюда входят последовательности, которые растут более чем с двухкратной экспоненциальной скоростью, а также некоторые двукратные экспоненциальные последовательности, которые растут быстрее, чем степени двойки.^[1]

Каждая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, чтобы

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}=\infty .}$

Однако неизвестно, существует ли такая последовательность, в которой наибольший общий делитель каждой пары членов равно 1 (в отличие от степеней двойки), и для которых

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty .}$^[5]

Связанные свойства

Аналогично последовательностям иррациональности Hančl (1996) определил трансцендентную последовательность как целочисленную последовательность а_п такое, что для каждой последовательности Икс_п натуральных чисел, сумма ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

существует и является трансцендентное число.^[6]

Рекомендации

1. Гай, Ричард К. (2004), "E24 Последовательности иррациональности", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, п. 346, ISBN  0-387-20860-7, Zbl  1058.11001.
2. Эрдеш, П.; Грэм, Р. Л. (1980), Старые и новые проблемы и результаты комбинаторной теории чисел, Monographies de L'Enseignement Mathématique, 28, Женева: Université de Genève L'Enseignement Mathématique, стр. 128, МИСТЕР  0592420.
3. Эрдеш, П. (1975), «Некоторые проблемы и результаты об иррациональности суммы бесконечных рядов» (PDF), Журнал математических наук, 10: 1–7 (1976), МИСТЕР  0539489.
4. Hanˇcl, Ярослав (1991). «Выражение действительных чисел с помощью бесконечных рядов». Acta Arithmetica. Том 59: 97–104.
5. Эрдеш, П. (1988), «Об иррациональности некоторых серий: проблемы и результаты», Новые достижения в теории трансцендентности (Дарем, 1986) (PDF), Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 102–109, МИСТЕР  0971997.
6. Hančl, Ярослав (1996), "Трансцендентальные последовательности", Mathematica Slovaca, 46 (2–3): 177–179, МИСТЕР  1427003.