Иноуэ поверхность - Inoue surface

В сложная геометрия, Иноуэ поверхность любой из нескольких сложные поверхности из Кодаира класс VII. Они названы в честь Масахиса Иноуэ, который дал первые нетривиальные примеры поверхностей класса VII Кодаира в 1974 г.^[1]

Поверхности Иноуэ не Кэлеровы многообразия.

Иноуэ поверхности с б₂ = 0

Иноуэ представил три семейства поверхностей: S⁰, S⁺ и S⁻, которые являются компактными частными ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} }$ (произведение комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ солвмногообразия. Они получаются как частные от ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} }$ разрешимой дискретной группой, голоморфно действующей на ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} .}$

Все поверхности солвмногообразий, построенные Иноуэ, имеют вторые Бетти число ${displaystyle b_{2}=0}$. Эти поверхности имеют Кодаира класс VII, что означает, что у них есть ${displaystyle b_{1}=1}$ и Кодаира измерение ${displaystyle -infty }$. Это было доказано Богомолов,^[2] Ли–Яу ^[3] и Телеман^[4] что любой поверхность класса VII с ${ extstyle b_{2}=0}$ это Поверхность хопфа или солвмногообразие типа Иноуэ.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций и кривых.

К. Хасегава ^[5] дает список всех комплексных двумерных солвмногообразий; это комплексный тор, гиперэллиптическая поверхность, Поверхность Кодаира и поверхности Иноуэ S⁰, S⁺ и S⁻.

Поверхности Иноуэ явно строятся следующим образом.^[5]

Типа S⁰

Позволять φ - целочисленная матрица 3 × 3 с двумя комплексными собственными значениями ${displaystyle alpha ,{overline {alpha }}}$ и действительное собственное значение c > 1, с ${displaystyle |alpha |^{2}c=1}$. потом φ обратима над целыми числами и определяет действие группы целых чисел, ${displaystyle mathbb {Z} ,}$ на ${displaystyle mathbb {Z} ^{3}}$. Позволять ${displaystyle Gamma :=mathbb {Z} ^{3}times mathbb {Z} .}$ Эта группа является решеткой в разрешимый Группа Ли

${displaystyle mathbb {R} ^{3}times mathbb {R} =(mathbb {C} imes mathbb {R} )times mathbb {R} ,}$

действующий на ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {R} ,}$ с ${displaystyle (mathbb {C} imes mathbb {R} )}$-часть по переводам и ${displaystyle times mathbb {R} }$-часть как ${displaystyle (z,r)mapsto (alpha ^{t}z,c^{t}r).}$

Мы распространяем это действие на ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} =mathbb {C} imes mathbb {R} imes mathbb {R} ^{>0}}$ установив ${displaystyle vmapsto e^{log ct}v}$, куда т является параметром ${displaystyle times mathbb {R} }$-часть ${displaystyle mathbb {R} ^{3}times mathbb {R} ,}$ и действуя тривиально с ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ фактор на ${displaystyle mathbb {R} ^{>0}}$. Это действие, очевидно, голоморфно, и фактор ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} /Gamma }$ называется Иноуэ поверхность типа ${displaystyle S^{0}.}$

Поверхность типа Иноуэ S⁰ определяется выбором целочисленной матрицы φ, ограниченный, как указано выше. Таких поверхностей счетное количество.

Типа S⁺

Позволять п быть положительным целым числом, и ${displaystyle Lambda _{n}}$ - группа верхнетреугольных матриц

${displaystyle {egin{bmatrix}1&x&z/n�&1&y�&0&1end{bmatrix}},qquad x,y,zin mathbb {Z} .}$

Частное от ${displaystyle Lambda _{n}}$ своим центром C является ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$. Позволять φ быть автоморфизмом ${displaystyle Lambda _{n}}$, мы предполагаем, что φ действует на ${displaystyle Lambda _{n}/C=mathbb {Z} ^{2}}$ как матрица с двумя положительными действительными собственными значениями а, б, и ab = 1. Рассмотрим разрешимую группу ${displaystyle Gamma _{n}:=Lambda _{n}times mathbb {Z} ,}$ с ${displaystyle mathbb {Z} }$ действующий на ${displaystyle Lambda _{n}}$ в качестве φ. Отождествляя группу верхнетреугольных матриц с ${displaystyle mathbb {R} ^{3},}$ мы получаем действие ${displaystyle Gamma _{n}}$ на ${displaystyle mathbb {R} ^{3}=mathbb {C} imes mathbb {R} .}$ Определите действие ${displaystyle Gamma _{n}}$ на ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} =mathbb {C} imes mathbb {R} imes mathbb {R} ^{>0}}$ с ${displaystyle Lambda _{n}}$ тривиально действуя на ${displaystyle mathbb {R} ^{>0}}$-часть и ${displaystyle mathbb {Z} }$ действуя как ${displaystyle vmapsto e^{tlog b}v.}$ Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа ${displaystyle S^{0}}$ показывает, что это действие голоморфно. Частное ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} /Gamma _{n}}$ называется Иноуэ поверхность типа ${displaystyle S^{+}.}$

Типа S⁻

Иноуэ поверхности типа ${displaystyle S^{-}}$ определяются так же, как и для S⁺, но два собственных значения а, б из φ действующий на ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ иметь противоположный знак и удовлетворять ab = -1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S⁺, поверхность Иноуэ типа S⁻ имеет неразветвленную двойную обложку типа S⁺.

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ - это поверхности класса VII Кодаира, определяемые формулой Ику Накамура в 1984 г.^[6] Они не являются солвмногообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. У них есть сферические оболочки, и может быть деформирована во взорванный Поверхность хопфа.

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с нулевым самопересечением и эллиптическую кривую. Это частный случай поверхностей Еноки, которые имеют цикл рациональных кривых с нулевым самопересечением, но без эллиптической кривой. Поверхности Half-Inoue содержат цикл C рациональных кривых и являются частным гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ относятся к классу VII.₀ поверхности с двумя циклами рациональных кривых.^[7] Параболические и гиперболические поверхности являются частными случаями минимальных поверхностей с глобальными сферическими оболочками (GSS), также называемыми поверхностями Като. Все эти поверхности можно построить необратимыми стягиваниями.^[8]

Примечания

1. М. Иноуэ, "О поверхностях класса VII.₀," Изобретения по математике., 24 (1974), 269–310.
2. Богомолов Ф .: «Классификация поверхностей VII класса.₀ с б₂ = 0", Математика. СССР Изв. 10, 255–269 (1976)
3. Ли, Дж., Яу, С., Т .: "Эрмитовы связности Янга – Миллса на некелеровых многообразиях", Математика. аспекты теории струн (Сан-Диего, Калифорния, 1986), Adv. Сер. Математика. Phys. 1, 560–573, World Scientific Publishing (1987)
4. Телеман, А .: «Проективно плоские поверхности и теорема Богомолова о классе VII».₀-поверхности », Int. J. Math., Vol. 5, № 2, 253–264 (1994)
5. Кейзо Хасэгава Комплексные и кэлеровы структуры на компактных солвмногообразиях, J. Symplectic Geom. Том 3, номер 4 (2005), 749–767.
6. Накамура И. «О поверхностях класса VII.₀ с кривыми " Инв. Математика. 78, 393–443 (1984).
7. И. Накамура. "Обзор VII₀ поверхности ", Последние достижения в геометрии не Келлера, Саппоро, март 2008 г.
8. Г. Длоусский, "Элемент конструкции поверхностей Иноуэ – Хирцебруха". Математика. Анна. 280, 663–682 (1988).