Теорема начального значения - Initial value theorem

В математический анализ, то теорема начального значения это теорема, используемая для связи частотная область выражения для область времени поведение по мере приближения времени нуль.^[1]

Также известен под аббревиатурой IVT.

Позволять

{ Displaystyle F (s) = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} , dt}

быть (односторонним) Преобразование Лапласа из ƒ(т). Если ${ displaystyle f}$ ограничен ${ displaystyle (0, infty)}$ (или если просто ${ Displaystyle е (т) = О (е ^ {ct})}$ ) и ${ Displaystyle lim _ {т к 0 ^ {+}} е (т)}$ существует, то по теореме начального значения^[2]

{ displaystyle lim _ {t , to , 0} f (t) = lim _ {s to infty} {sF (s)}.}

Доказательство

Предположим сначала, что ${ displaystyle f}$ ограничено. Сказать ${ Displaystyle lim _ {т к 0 ^ {+}} е (т) = альфа}$ . Замена переменной в интеграле ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} , dt}$ показывает, что

{ displaystyle sF (s) = int _ {0} ^ { infty} f left ({ frac {t} {s}} right) e ^ {- t} , dt}

.

С ${ displaystyle f}$ ограничен, Теорема о доминирующей сходимости показывает, что

{ displaystyle lim _ {s to infty} sF (s) = int _ {0} ^ { infty} alpha e ^ {- t} , dt = alpha.}

Конечно, здесь DCT не нужен, можно дать очень простое доказательство, используя только элементарное исчисление:

Начните с выбора ${ displaystyle A}$ так что ${ displaystyle int _ {A} ^ { infty} e ^ {- t} , dt < epsilon}$ , а затем обратите внимание, что ${ displaystyle lim _ {s to infty} f left ({ frac {t} {s}} right) = alpha}$ равномерно за ${ displaystyle t in (0, A]}$ .)

Теорема, предполагающая только что ${ Displaystyle е (т) = О (е ^ {ct})}$ следует из теоремы для ограниченного ${ displaystyle f}$ :Определять ${ Displaystyle г (т) = е ^ {- ct} f (т)}$ . потом ${ displaystyle g}$ ограничен, поэтому мы показали, что ${ Displaystyle г (0 ^ {+}) = lim _ {s to infty} sG (s)}$ .Но ${ Displaystyle F (0 ^ {+}) = г (0 ^ {+})}$ и ${ Displaystyle G (s) = F (s + c)}$ , так