Дополнительные деформации - Incremental deformations

В механика твердого тела линейный стабильность анализ упругого решения изучается методом дополнительные деформации наложенный на конечный деформации.^[1] Метод постепенной деформации может использоваться для решения статических,^[2] квазистатический ^[3] и проблемы, зависящие от времени.^[4] Управляющие уравнения движения - одни из классическая механика, такой как сохранение массы и баланс линейный и угловой момент, которые обеспечивают равновесная конфигурация материала.^[5] Основная соответствующая математическая структура описана в основных Раймонд Огден книга Нелинейные упругие деформации^[1] и в книге Био Механика нарастающих деформаций,^[6] который представляет собой сборник его основных работ.

Нелинейная упругость

Кинематика и механика

Схема нарастающей деформации

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {E}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ быть трехмерным Евклидово пространство. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{a}\in {\mathcal {E}}}$ быть двумя областями, занятыми материалом в два разных момента времени. Позволять ${\displaystyle {\bf {\chi }}}$ быть деформация который преобразует ткань из ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$, т.е. материал / ссылка конфигурации, чтобы загружен конфигурация ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{a}}$, т.е. текущая конфигурация. Позволять ${\displaystyle \chi }$ быть ${\displaystyle C^{1}}$-диффеоморфизм^[7] из ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ к ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{a}}$, с ${\displaystyle {\bf {x}}={\bf {\chi }}({\bf {X}})}$ текущий вектор положения, заданный как функция положения материала ${\displaystyle {\bf {X}}}$. В градиент деформации^[5] дан кем-то

${\displaystyle {\bf {F}}={\rm {Grad}}\,{\bf {x}}={\frac {\partial {\bf {\chi }}({\bf {X)}}}{\partial {\bf {X}}}}}$.

Учитывая сверхупругий материал с плотностью энергии упругой деформации^[5] ${\displaystyle W({\bf {F}})}$, то Тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа ${\displaystyle {\bf {S}}}$ дан кем-то ${\displaystyle {\bf {S}}={\frac {\partial W}{\partial \,{\bf {F}}}}}$.

Для квазистатической задачи без силы тела, уравнение равновесия имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {Div}}\,{\bf {S}}&=0&&\qquad {\text{Equilibrium}},\\[3pt]\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\rm {Div}}}$ это расхождение^[1] относительно материальных координат.

Если материал несжимаемый,^[8] то есть объем каждой подобласти не меняется в процессе деформации, лагранжев множитель^[9] обычно вводится для обеспечения внутреннего изохорного ограничения ${\displaystyle {\rm {det}}\,{\bf {F}}=1}$. Таким образом, выражение тензора напряжений Пиолы принимает вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {S}}&={\frac {\partial W}{\partial {\bf {F}}}}-p{\bf {F}}^{-1}&&\qquad {\text{Definition of the stress}}.\\\end{aligned}}}$

Граничные условия

Позволять ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}_{0}}$ быть границей ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$, эталонная конфигурация и ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}_{a}}$, граница ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{a}}$, текущая конфигурация.^[1] Один определяет подмножество ${\displaystyle \Gamma _{D}}$ из ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}_{0}}$ на котором применяются условия Дирихле, а условия Неймана остаются ${\displaystyle \Gamma _{N}}$, так что ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}}$. Если ${\displaystyle {\bf {u}}_{0}^{*}}$ вектор смещения, который должен быть назначен на участке ${\displaystyle \Gamma _{D}}$ и ${\displaystyle {\bf {t}}_{0}^{*}}$ вектор тяги, который будет назначен части ${\displaystyle \Gamma _{N}}$, граничные условия можно записать в смешанной форме, например

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {u}}({\bf {{X})}}&={\bf {u}}_{0}^{*}&&\qquad {\rm {on}}\,\Gamma _{D},\\[3pt]{\bf {S}}^{\rm {T}}\cdot {\bf {N}}&={\bf {t}}_{0}^{*}&&\qquad {\rm {on}}\,\Gamma _{N},\\[3pt]\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}}$ это смещение, а вектор ${\displaystyle {\bf {N}}}$ единица наружу нормально к ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}_{0}}$.

Базовое решение

Поставленная задача называется краевой задачей (BVP ). Следовательно, пусть ${\displaystyle {\bf {x}}^{0}=\chi ^{0}({\bf {X}})}$ быть решением БВП. С ${\displaystyle W}$ зависит нелинейно^[10] От градиента деформации это решение, как правило, не единственное и зависит от геометрических и материальных параметров задачи. Таким образом, необходимо использовать метод возрастающей деформации, чтобы подчеркнуть существование адиасантного решения для критического значения безразмерного параметра, называемого параметр управления ${\displaystyle \gamma }$ который «контролирует» наступление нестабильности.^[11] Это означает, что при увеличении значения этого параметра в определенный момент появляются новые решения. Следовательно, выбранное базовое решение перестает быть стабильным, но становится нестабильным. С физической точки зрения, в определенный момент времени накопленная энергия, такая как интеграл плотности ${\displaystyle W}$ во всей области базового решения больше, чем у новых решений. Чтобы восстановить равновесие, конфигурация материала переходит в другую конфигурацию, имеющую более низкую энергию.^[12]

Метод постепенных деформаций с наложением на конечные деформации

Чтобы улучшить этот метод, нужно наложить небольшое смещение ${\displaystyle \delta {\bf {x}}}$ на базовом решении конечной деформации ${\displaystyle {\bf {x}}^{0}}$. Так что:

${\displaystyle {\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})}$,

куда ${\displaystyle {\bar {\bf {x}}}}$ возмущенное положение и ${\displaystyle \chi ^{1}({\bf {x}}^{0})}$ отображает базовый вектор положения ${\displaystyle {\bf {x}}^{0}}$ в возмущенной конфигурации ${\displaystyle \delta {\mathcal {B}}_{a}}$.

Далее инкрементные переменные обозначены ${\displaystyle \delta (\bullet )}$, а возмущенные обозначены ${\displaystyle {\bar {\bullet }}}$.^[1]

Градиент деформации

Возмущенный градиент деформации дан кем-то:

${\displaystyle {\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}}$,

куда ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})}$, куда ${\displaystyle {\rm {grad}}}$ - оператор градиента по отношению к текущей конфигурации.

Стрессы

Возмущенный Пиола стресс дан кем-то:

${\displaystyle {\bar {\bf {S}}}={\bf {S}}^{0}+\delta {\bf {S}}={\bf {S}}^{0}+{\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}:\delta {\bf {F}}}$

куда ${\displaystyle :}$ обозначает сжатие между двумя тензорами, тензор четвертого порядка ${\displaystyle {\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}={\mathcal {A}}^{1}}$ и тензор второго порядка ${\displaystyle \delta {\bf {F}}}$. С ${\displaystyle {\bf {S}}}$ зависит от ${\displaystyle {\bf {F}}}$ через ${\displaystyle W}$, его выражение можно переписать, подчеркнув эту зависимость, например

${\displaystyle {\bar {\bf {S}}}={\frac {\partial W}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}+{\frac {\partial W}{\partial {\bf {F}}\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}:\delta {\bf {F}}.}$

Если материал несжимаемый, получается

${\displaystyle \delta {\bf {S}}={\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}\delta {\bf {F}}={\mathcal {A}}^{1}\delta {\bf {F}}+p({\bf {F}}^{0})^{-1}\delta {\bf {F}}({\bf {F}}^{0})^{-1}-\delta p\,({\bf {F}}^{0})^{-1},}$

куда ${\displaystyle \delta p}$ это приращение в ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}}$ называется модулями упругости, ассоциированными с парами ${\displaystyle ({\bf {S}},{\bf {F}})}$.

Полезно получить продвижение возмущенного напряжения Пиолы, которое можно определить как

${\displaystyle \delta {\bf {S}}_{0}={\bf {F}}^{0}\,\delta {\bf {S}}={\mathcal {A}}_{0}^{1}\Gamma +p\Gamma -\delta p\,{\rm {I}},}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}^{1}}$ также известен как тензор мгновенных модулей, компонентами которого являются:

${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}}$.

Дополнительные управляющие уравнения

Разлагая уравнение равновесия вокруг основного решения, получаем

${\displaystyle {\rm {Div}}({\bar {\bf {S}}})={\rm {Div}}({\bf {S}}^{0}+\delta {\bf {S}})={\rm {Div}}({\bf {S}}^{0})+\,{\rm {Div}}(\delta {\bf {S}})=0.}$

С ${\displaystyle {\bf {S}}^{0}}$ является решением уравнения в нулевом порядке, инкрементное уравнение можно переписать как

${\displaystyle {\rm {div}}(\delta {\bf {S}}_{0})=0,}$

куда ${\displaystyle {\rm {div}}}$ - оператор дивергенции относительно реальной конфигурации.

Ограничение возрастающей несжимаемости гласит:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {det}}\,({\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}})&=1.\\\end{aligned}}}$

Расширяя это уравнение вокруг основного решения, как и раньше, получаем

${\displaystyle {\rm {tr}}(\mathbf {\Gamma } )=0.}$

Дополнительные граничные условия

Позволять ${\displaystyle {\overline {\delta {\bf {u}}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {\delta {\bf {t}}}}}$ быть предписанным шагом ${\displaystyle {\bf {u}}_{0}^{*}}$ и ${\displaystyle {\bf {t}}_{0}^{*}}$ соответственно. Следовательно, возмущенное граничное условие

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\bf {u}}({\bf {x}})&={\overline {\delta {\bf {u}}}}&&\qquad {\bf {x}}\in {\Gamma _{D}}\\[3pt]\delta {\bf {S}}_{0}^{\rm {T}}\cdot {\bf {n}}&={\overline {\delta {\bf {t}}}}&&\qquad {\bf {x}}\in {\Gamma _{N}},\\[3pt]\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \delta {\bf {u}}=\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})-{\bf {x}}}$ инкрементное смещение и ${\displaystyle {\Gamma _{D}}\cup {\Gamma _{N}}={\partial \Omega }}$.

Решение дополнительной проблемы

Дополнительные уравнения

${\displaystyle {\rm {div}}(\delta {\bf {S}}_{0})=0\qquad {\hbox{for compressible material}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\rm {div}}(\delta {\bf {S}}_{0})&=0\\{\rm {tr}}(\mathbf {\Gamma } )&=0\end{cases}}\qquad {\hbox{for incompressible material}}\end{aligned}}}$

представляют собой дополнительные краевая задача (BVP) и определить систему уравнения в частных производных (PDEs).^[13] Неизвестные проблемы зависят от рассматриваемого случая. Для первого, такого как сжимаемый случай, есть три неизвестных, таких как составляющие дополнительных деформаций. ${\displaystyle \delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})}$, связанный с возмущенной деформацией этим соотношением ${\displaystyle \chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}}$. Вместо этого в последнем случае необходимо учитывать также приращение ${\displaystyle \delta p}$ множителя Лагранжа ${\displaystyle p}$, введенный для наложения изохорной связи.

Основная трудность решения этой проблемы - преобразование задачи в более подходящую форму для реализации эффективной и надежной процедуры численного решения.^[14] В этой области используется формализм Стро. Первоначально он был разработан Stroh ^[15] для стационарной упругой задачи и допускает набор из четырех PDEs с соответствующими граничными условиями, которые необходимо преобразовать в набор ODE из первый заказ с начальными условиями. Количество уравнений зависит от размерности пространства, в котором ставится задача. Для этого необходимо применить разделение переменных и предположить периодичность в заданном направлении в зависимости от рассматриваемой ситуации.^[16] В частных случаях система может быть переписана в компактном виде с помощью формализма Стро.^[15] Действительно, форма системы выглядит как

${\displaystyle {\frac {d}{d\,{\rm {x}}}}{\eta }=\mathbf {G} \,\eta ,}$

куда ${\displaystyle \eta }$ - вектор, содержащий все неизвестные задачи, ${\displaystyle {\rm {x}}}$ - единственная переменная, от которой зависит переписанная задача и матрица ${\displaystyle {\bf {G}}}$ так называемый Stroh матрица и имеет следующий вид

${\displaystyle {\bf {G}}={{\begin{bmatrix}{\bf {G}}_{1}&{\bf {G}}_{2}\\{\bf {G}}_{3}&{\bf {G}}_{4}\end{bmatrix}},}}$

где каждый блок представляет собой матрицу, и его размер зависит от размера проблемы. Кроме того, важнейшим свойством этого подхода является то, что ${\displaystyle {\bf {G}}_{4}=({\bf {G}}_{1})^{*}}$, т.е. ${\displaystyle {\bf {G}}_{4}}$ - эрмитова матрица ${\displaystyle {\bf {G}}_{1}}$.^[17]

Заключение и замечание

Результат анализа линейной устойчивости.

Формализм Стро обеспечивает оптимальную форму для решения большого количества задач теории упругости. Оптимальный означает, что можно построить эффективную численную процедуру для решения возрастающей задачи. Решая инкрементную краевую задачу, можно найти соотношения^[18] среди материальных и геометрических параметров задачи и режимов возмущения, с помощью которых волна распространяется в материале, то есть то, что обозначает неустойчивость. Все зависит от ${\displaystyle \gamma }$, выбранный параметр обозначается как контрольный.

Согласно этому анализу, в режиме возмущения графика в зависимости от управляющего параметра минимальное значение режима возмущения представляет собой первый режим, при котором можно увидеть начало неустойчивости. Например, на картинке первое значение режима ${\displaystyle kz}$ в котором возникает нестабильность около ${\displaystyle 0.3}$ поскольку тривиальное решение ${\displaystyle \gamma =0}$ и ${\displaystyle kz=0}$ не нужно учитывать.

Смотрите также

• Деформация (механика)
• Упругая нестабильность
• Механика сплошной среды

Рекомендации

1. Огден Р. В. (1997). Нелинейные упругие деформации (Корр. Ред.). Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0486696485.
2. Мора, Серж (2010). «Капиллярная неустойчивость мягкого твердого тела». Письма с физическими проверками. 105 (21): 214301. Дои:10.1103 / PhysRevLett.105.214301. PMID  21231307.
3. Holzapfel, G.A .; Огден, Р. У. (31 марта 2010 г.). «Конституционное моделирование артерий». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 466 (2118): 1551–1597. Дои:10.1098 / rspa.2010.0058.
4. Gower, A.L .; Дестрейд, М .; Огден, Р.В. (декабрь 2013 г.). «Противоинтуитивные результаты в акустоупругости». Волновое движение. 50 (8): 1218–1228. Дои:10.1016 / j.wavemoti.2013.03.007.
5. Гуртин, Мортон Э. (1995). Введение в механику сплошных сред (6-е [доктор]. Ред.). Сан-Диего [u.a.]: Акад. Нажмите. ISBN  9780123097507.
6. Биот, М.А. (апрель 2009 г.). «XLIII». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. 27 (183): 468–489. Дои:10.1080/14786443908562246.
7. 1921-2010., Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  978-0070542365. OCLC  21163277.
8. Horgan, C.O .; Мерфи, Дж. Г. (2018-03-01). «Волшебные углы для волокнистых несжимаемых эластичных материалов». Proc. R. Soc. А. 474 (2211): 20170728. Дои:10.1098 / rspa.2017.0728. ISSN  1364-5021.
9. Бертсекас, Дмитрий П. (1996). Оптимизация с ограничениями и методы множителя Лагранжа. Бельмонт, Массачусетс: Athena Scientific. ISBN  978-1-886529--04-5.
10. Болл, Джон М. (декабрь 1976 г.). «Условия выпуклости и теоремы существования в нелинейной теории упругости». Архив рациональной механики и анализа. 63 (4): 337–403. Дои:10.1007 / BF00279992. HDL:10338.dmlcz / 104220.
11. Левин, Ховард А. (май 1974 г.). «Неустойчивость и отсутствие глобальных решений нелинейных волновых уравнений вида Pu tt = -Au + (u)». Труды Американского математического общества. 192: 1–21. Дои:10.2307/1996814. JSTOR  1996814.
12. Рид, Л. Ландау и Э.М.Лифшиц; перевод с русского Дж.Б. Сайкса и У.Х. (1986). Теория упругости (3-е англ. Изд., Перераб. И энл. Е. М. Лифшица, А. М. Косевича, Л. П. Питаевского. Ред.). Оксфорд [Англия]: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  9780750626330.
13. Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения с частными производными (2-е изд.). Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN  978-0821849743.
14. Quarteroni, Альфио (2014). Численные модели для дифференциальных задач (Второе изд.). Милан: Спрингер Милан. ISBN  978-88-470-5522-3.
15. Стро, А. Н. (апрель 1962 г.). «Задачи установившегося состояния анизотропной упругости». Журнал математики и физики. 41 (1–4): 77–103. Дои:10.1002 / sapm196241177.
16. Дестрейд, М .; Ogden, R.W .; Сгура, I .; Вергори, Л. (апрель 2014 г.). «Разглаживание морщин». Журнал механики и физики твердого тела. 65: 1–11. Дои:10.1016 / j.jmps.2014.01.001.
17. 1961-, Чжан, Фучжэнь (2011). Теория матриц: основные результаты и методы (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  9781461410997. OCLC  756201359.
18. Ни Аннаид, Айслинг; Брюйер, Карин; Дестрейд, Мишель; Гилкрист, Майкл Д .; Маурини, Коррадо; Оттенио, Мелани; Саккоманди, Джузеппе (17 марта 2012 г.). «Автоматическая оценка дисперсии коллагеновых волокон в дерме и ее вклада в анизотропное поведение кожи». Анналы биомедицинской инженерии. 40 (8): 1666–1678. arXiv:1203.4733. Дои:10.1007 / s10439-012-0542-3. ISSN  0090-6964. PMID  22427196.