Измерение Иитака - Iitaka dimension

В алгебраическая геометрия, то Измерение Иитака из линейный пакет L на алгебраическое многообразие Икс размер изображения рациональная карта к проективное пространство определяется по L. Это на 1 меньше, чем размер секционное кольцо из L

{displaystyle R (X, L) = igoplus _ {d = 0} ^ {infty} H ^ {0} (X, L ^ {otimes d}).}

Иитака измерение L всегда меньше или равен размеру Икс. Если L неэффективен, то его измерение Иитака обычно определяется как ${displaystyle -infty}$ или просто отрицательным (некоторые ранние ссылки определяют его как -1). Иитака измерение L иногда называют L-размерностью, а размерность дивизора D - D-размерностью. Измерение Иитака было введено Сигеру Иитака (1970, 1971 ).

Связки больших линий

А линейный пакет является большой если оно имеет максимальное измерение Иитака, то есть если его размерность Иитака равна измерению лежащего в основе разнообразия. Крупность - это бирациональный инвариант: Если е: Y → X является бирациональным морфизмом многообразий, и если L большой линейный пакет на Икс, тогда ж^*L большой линейный пакет на Y.

Все обильные линейные пакеты большие.

Большие линейные расслоения не обязательно определяют бирациональные изоморфизмы Икс со своим изображением. Например, если C это гиперэллиптическая кривая (например, кривая второго рода), то ее канонический пакет велико, но определяемое им рациональное отображение не является бирациональным изоморфизмом. Вместо этого это двойная обложка каноническая кривая из C, который является рациональная нормальная кривая.

Кодаира измерение

Размерность Иитака канонического расслоения гладкий сорт называется его Кодаира измерение.

Гипотеза Иитаки

M-плюриканоническое отображение комплексных многообразий M к W индуцирует структуру волоконного пространства.

Рассмотрим комплексные алгебраические многообразия в следующем.

Пусть K будет канонический пакет на M. Размерность H⁰(М, К^м), голоморфные сечения K^м, обозначается P_м(М), называется m-род. Позволять

{displaystyle N (M) = {mgeq 1 | P_ {m} (M) geq 1},}

тогда N (M) становится целым положительным числом ненулевого m-рода. Когда N (M) не пусто, для ${displaystyle min N (M)}$ м-плюриканоническая карта ${displaystyle Phi _ {mK}}$ определяется как карта

{displaystyle {egin {align} Phi _ {mK}: & Mlongrightarrow mathbb {P} ^ {N} & z mapsto (varphi _ {0} (z): varphi _ {1} (z): cdots: varphi _ {N } (z)) конец {выровнен}}}

где ${displaystyle varphi _ {i}}$ являются основаниями H⁰(М, К^м). Тогда образ ${displaystyle Phi _ {mK}}$ , ${displaystyle Phi _ {mK} (M)}$ определяется как подмногообразие ${displaystyle mathbb {P} ^ {N}}$ .

Для определенных ${displaystyle m}$ позволять ${displaystyle Phi _ {mk}: Mightarrow W = Phi _ {mK} (M) подмножество mathbb {P} ^ {N}}$ m-плюриканоническое отображение, где W - комплексное многообразие, вложенное в проективное пространство п^N.

В случае поверхностей с κ (M) = 1 указанная выше W заменяется кривой C, которая является эллиптической кривой (κ (C) = 0). Мы хотим распространить этот факт на общий размер и получить аналитическую структуру волокна, изображенную на верхнем правом рисунке.

M-плюриканоническое отображение бирационально инвариантно. п_м(M) = P_м(Вт)

Учитывая бирациональное отображение ${displaystyle varphi: Mlongrightarrow W}$ , m-плюриканоническое отображение приводит к коммутативной диаграмме, изображенной на левом рисунке, что означает, что ${displaystyle Phi _ {mK} (M) = Phi _ {mK} (W)}$ , т.е. m-плюриканонический род бирационально инвариантен.

Существование бирационального отображения ψ: W_m1 → W_m2 в проективном пространстве

Иитака показал, что для n-мерного компактного комплексного многообразия M с размерностью Кодаиры κ (M), удовлетворяющей 1 ≤ κ (M) ≤ n-1, достаточно больших м₁,м₂ такой, что ${displaystyle Phi _ {m_ {1} K}: Mlongrightarrow W_ {m_ {1}} (M)}$ и ${displaystyle Phi _ {m_ {2} K}: Mlongrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$ бирационально эквивалентны, что означает наличие бирационального отображения ${displaystyle varphi: W_ {m_ {1}} longrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$ . А именно, диаграмма, изображенная на правом рисунке, является коммутативной.

Кроме того, можно выбрать ${displaystyle M ^ {*}}$ это бирационально с ${displaystyle M}$ и ${displaystyle W ^ {*}}$ это бирационально с обоими ${displaystyle W_ {m_ {1}}}$ и ${displaystyle W_ {m_ {1}}}$ такой, что

{displaystyle Phi: M ^ {*} longrightarrow W ^ {*}}

является бирациональным отображением, слои ${displaystyle Phi}$ односвязны, а общие волокна ${displaystyle Phi}$

{displaystyle M_ {w} ^ {*}: = Phi ^ {- 1} (w), выиграть W ^ {*}}

имеют размерность Кодаира 0.

Вышеуказанная волокнистая структура называется Волокнистое пространство Иитака. В случае поверхности S (п = 2 = dim (S)), W^* - алгебраическая кривая, структура волокон имеет размерность 1, а затем общие слои имеют размерность Кодаиры 0, т. е. эллиптическую кривую. Следовательно, S - эллиптическая поверхность. Этот факт можно обобщить на общие п. Следовательно, изучение многомерной бирациональной геометрии распадается на часть κ = -∞, 0, n и расслоение, слои которого имеют κ = 0.

Следующая дополнительная формула Иитаки, названная Гипотеза Иитаки, важно для классификации алгебраических многообразий или компактных комплексных многообразий.

Гипотеза Иитаки — Позволять ${displaystyle f: Vightarrow W}$ быть расслоением из m-мерного многообразия ${displaystyle V}$ к n-мерному разнообразию ${displaystyle W}$ и каждое волокно ${displaystyle V_ {w} = f ^ {- 1} (w)}$ связанный. потом

{displaystyle kappa (V) geq kappa (V_ {w}) + kappa (W).}

Эта гипотеза была решена лишь частично, например, в случае Многообразия Мойшезона. Можно сказать, что теория классификации является попыткой решить гипотезу Иитаки и привести другие теоремы о том, что трехмерное многообразие V является абелевский тогда и только тогда, когда κ (V) = 0 и q (V) = 3, и его обобщение и т. д. В программа минимальной модели может быть выведено из этой гипотезы.

использованная литература

Иитака, Сигеру (1970), "О D-размерностях алгебраических многообразий", Proc. Япония Acad., 46: 487–489, Дои:10.3792 / pja / 1195520260, Г-Н 0285532
Иитака, Шигеру (1971), "О D-размерности алгебраических многообразий", J. Math. Soc. Япония, 23: 356–373, Дои:10.2969 / jmsj / 02320356, Г-Н 0285531
Уэно, Кендзи (1975), Теория классификации алгебраических многообразий и компактных комплексных пространств, Конспект лекций по математике, 439, Springer-Verlag, Г-Н 0506253