Стодолларовые, 100-значные задачи Challenge - Hundred-dollar, Hundred-digit Challenge problems

В Стодолларовые, стодолларовые задачи Challenge 10 проблем в вычислительная математика опубликовано в 2002 г. Ник Трефетен (2002 ). Приз в размере 100 долларов был предложен тому, кто разработал наиболее точные решения, размером до 10. значащие цифры. Крайний срок конкурса - 20 мая 2002 года. В конце концов, 20 команд решили все задачи идеально с необходимой точностью, а анонимный спонсор помог собрать необходимые призовые деньги. Проблема и ее решения подробно описаны в книге (Folkmar Bornemann, Dirk Laurie & Stan Wagon et al.2004 ).

Проблемы

Из (Trefethen 2002 ):

${ displaystyle lim _ { varepsilon to 0} int _ { varepsilon} ^ {1} x ^ {- 1} cos left (x ^ {- 1} log x right) , dx }$
Фотон, движущийся со скоростью 1 в ху-самолет стартует в т = 0 при (Икс, у) = (0,5, 0,1) направление на восток. Вокруг каждой точки целочисленной решетки (я, j) в плоскости установлено круглое зеркало радиусом 1/3. Как далеко от источника находится фотон на т = 10?
Бесконечная матрица А с записями ${ displaystyle a_ {11} = 1, a_ {12} = 1/2, a_ {21} = 1/3, a_ {13} = 1/4, a_ {22} = 1/5, a_ {31} = 1/6, точки}$ является ограниченным оператором на ${ displaystyle ell ^ {2}}$ . Что ${ displaystyle || A ||}$ ?
Каков глобальный минимум функции ${ displaystyle exp left ( sin left (50x right) right) + sin left (60e ^ {y} right) + sin left (70 sin x right) + sin left ( sin left (80y right) right) - sin left (10 left (x + y right) right) +1/4 left (x ^ {2} + y ^ { 2} right)}$
Позволять ${ Displaystyle е (г) = 1 / Гамма (г)}$ , куда ${ Displaystyle Gamma (г)}$ - гамма-функция, и пусть ${ displaystyle p (z)}$ - кубический многочлен, наилучшим образом приближающий ${ displaystyle f (z)}$ на единичном диске в супремум-норме ${ displaystyle ||. || _ { infty}}$ . Что ${ displaystyle || е-п || _ { infty}}$ ?
Блоха начинается с ${ displaystyle (0,0)}$ на бесконечной двумерной целочисленной решетке и выполняет смещенный случайная прогулка: На каждом шаге он с вероятностью скачет на север или юг. ${ displaystyle 1/4}$ , восток с вероятностью ${ displaystyle 1/4 + varepsilon}$ , и запад с вероятностью ${ Displaystyle 1 / 4- varepsilon}$ . Вероятность того, что блоха вернется в (0, 0) когда-нибудь во время своих странствий, равна ${ displaystyle 1/2}$ . Что ${ displaystyle varepsilon}$ ?
Пусть A будет матрицей 20000 × 20000, элементы которой равны нулю всюду, кроме простых чисел 2, 3, 5, 7, ..., 224737 вдоль главной диагонали и числа 1 во всех позициях. ${ displaystyle a_ {ij}}$ с ${ displaystyle | i-j | = 1,2,4,8, dots, 16384}$ . Что такое запись (1, 1) в ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ ?
Квадратная тарелка ${ Displaystyle [-1,1] раз [-1,1]}$ находится при температуре ${ displaystyle u = 0}$ . Вовремя ${ displaystyle t = 0}$ , температура повышается до ${ displaystyle u = 5}$ вдоль одной из четырех сторон, удерживая ${ displaystyle u = 0}$ вдоль трех других сторон, а затем тепло поступает в пластину в соответствии с ${ displaystyle u_ {t} = Delta u}$ . Когда температура достигает ${ displaystyle u = 1}$ в центре тарелки?
Интегральный ${ displaystyle I ( alpha) = int _ {0} ^ {2} left [2+ sin left (10 alpha right) right] x ^ { alpha} sin left ( альфа / влево (2-х вправо) вправо) , dx}$ зависит от параметра α. Какое значение α в [0, 5], при котором я(α) достигает максимума?
Частица в центре прямоугольника 10 × 1 совершает броуновское движение (т. Е. Двумерное случайное блуждание с бесконечно малой длиной шага), пока не достигнет границы. Какова вероятность того, что он попадет в один из концов, а не в одну из сторон?