Условия доказуемости Гильберта – Бернейса. - Hilbert–Bernays provability conditions

В математическая логика, то Условия доказуемости Гильберта – Бернейса., названный в честь Дэвид Гильберт и Пол Бернейс, представляют собой набор требований к формализованным предикатам доказуемости в формальных теориях арифметики (Smith 2007: 224).

Эти условия используются во многих доказательствах Курт Гёдель с вторая теорема о неполноте. Они также тесно связаны с аксиомами логика доказуемости.

Условия

Позволять Т - формальная теория арифметики с формализованным предикатом доказуемости Prov (п), который выражается формулой Т с одной свободной числовой переменной. Для каждой формулы φ в теории пусть # (φ) - Число Гёделя из φ. Условия доказуемости Гильберта – Бернейса:

Если Т доказывает предложение φ, то Т доказывает Prov (# (φ)).
Для каждого предложения φ Т доказывает Prov (# (φ)) → Prov (# (Prov (# (φ))))
Т доказывает, что Prov (# (φ → ψ)) и Prov (# (φ)) влекут Prov (# (ψ))

Обратите внимание, что Prov - это предикат чисел, и это предикат доказуемости в том смысле, что предполагаемая интерпретация Prov (# (φ)) заключается в том, что существует число, которое кодирует доказательство φ. Формально от Prov требуется выполнение трех вышеуказанных условий.

Использование при доказательстве теорем Гёделя о неполноте

Условия доказуемости Гильберта – Бернейса в сочетании с диагональная лемма, позволяют в ближайшее время доказать обе теоремы Гёделя о неполноте. Действительно, основная попытка доказательств Гёделя заключалась в том, чтобы показать, что эти условия (или эквивалентные) и диагональная лемма верны для арифметики Пеано; как только они установлены, доказательство может быть легко формализовано.

Используя диагональную лемму, существует формула ${ displaystyle rho}$ такой, что ${ Displaystyle Т Vdash rho leftrightarrow neg Prov ( # ( rho))}$ .

Доказательство первой теоремы Гёделя о неполноте

Для первой теоремы нужны только первое и третье условия.

Условие, что Т является ω-согласованный обобщается условием, что если для любой формулы φ, если Т доказывает Prov (# (φ)), то Т доказывает φ. Отметим, что это действительно верно для ω-согласованной Т потому что Prov (# (φ)) означает, что существует числовое кодирование для доказательства φ, и если Т ω-непротиворечиво, то перебирая все натуральные числа, можно найти такое конкретное число а, а затем можно использовать а построить фактическое доказательство φ в Т.

Предположим, Т мог бы доказать ${ displaystyle rho}$ . Тогда у нас были бы следующие теоремы в Т:

${ Displaystyle Т Vdash rho}$
${ Displaystyle Т Vdash neg Prov ( # ( rho))}$ (по построению ${ displaystyle rho}$ и теорема 1)
${ Displaystyle Т Vdash Prov ( # ( rho))}$ (по условию № 1 и теореме 1)

Таким образом Т доказывает оба ${ Displaystyle Prov ( # ( rho))}$ и ${ Displaystyle neg Prov ( # ( rho))}$ . Но если Т непротиворечиво, это невозможно, и мы вынуждены заключить, что Т не доказывает ${ displaystyle rho}$ .

Теперь предположим, что T мог бы доказать ${ displaystyle neg rho}$ . Тогда у нас были бы следующие теоремы в Т:

${ Displaystyle Т Vdash neg rho}$
${ Displaystyle Т Vdash Prov ( # ( rho))}$ (по построению ${ displaystyle rho}$ и теорема 1)
${ Displaystyle Т Vdash rho}$ (по ω-согласованности)

Таким образом Т доказывает оба ${ displaystyle rho}$ и ${ displaystyle neg rho}$ . Но если Т непротиворечиво, это невозможно, и мы вынуждены заключить, что Т не доказывает ${ displaystyle neg rho}$ .

Заключить, Т не могу доказать ни ${ displaystyle rho}$ ни ${ displaystyle neg rho}$ .

Использование трюка Россера

С помощью Уловка Россера, не нужно предполагать, что Т ω-согласовано. Однако нужно было бы показать, что первое и третье условия доказуемости выполняются для Prov^р, Предикат доказуемости Россера, а не для наивного предиката доказуемости Prov. Это следует из того факта, что для любой формулы φ Prov (# (φ)) выполняется тогда и только тогда, когда Prov^р держит.

Используется дополнительное условие: Т доказывает, что Prov^р(# (φ)) следует ¬Prov^р(# (¬φ)). Это условие выполняется для любого Т это включает в себя логику и очень простую арифметику (как описано в Уловка Россера # Приговор Россера ).

Используя уловку Россера, ρ определяется с использованием предиката доказуемости Россера вместо наивного предиката доказуемости. Первая часть доказательства остается без изменений, за исключением того, что там предикат доказуемости заменяется на предикат доказуемости Россера.

Вторая часть доказательства больше не использует ω-согласованность и заменяется следующей:

Предположим, что T мог бы доказать ${ displaystyle neg rho}$ . Тогда у нас были бы следующие теоремы в Т:

${ Displaystyle Т Vdash neg rho}$
${ Displaystyle Т Vdash Prov ^ {R} ( # ( rho))}$ (по построению ${ displaystyle rho}$ и теорема 1)
${ Displaystyle Т Vdash neg Prov ^ {R} ( # ( neg rho))}$ (по теореме 2 и дополнительному условию после определения предиката доказуемости Россера)
${ Displaystyle Т Vdash Prov ^ {R} ( # ( neg rho))}$ (по условию № 1 и теореме 1)

Таким образом Т доказывает оба ${ Displaystyle Prov ^ {R} ( # ( neg rho))}$ и ${ Displaystyle neg Prov ^ {R} ( # ( neg rho))}$ . Но если Т непротиворечиво, это невозможно, и мы вынуждены заключить, что Т не доказывает ${ displaystyle neg rho}$ .

Вторая теорема

Мы предполагаем, что Т доказывает свою непротиворечивость, т.е. что:

{ Displaystyle Т Vdash neg Prov ( # (1 = 0))}

.

Для каждой формулы φ:

{ Displaystyle Т Vdash neg varphi rightarrow ( varphi rightarrow (1 = 0))}

(к устранение отрицания )

Это можно показать, используя условие № 1 по последней теореме, с последующим повторным использованием условия № 3, что:

{ Displaystyle T Vdash Prov ( # ( neg varphi)) rightarrow (Prov ( # ( varphi)) rightarrow Prov ( # (1 = 0)))}

И используя Т доказывая свою непротиворечивость, следует, что:

{ Displaystyle Т Vdash Prov ( # ( neg varphi)) rightarrow neg Prov ( # ( varphi))}

Теперь мы используем это, чтобы показать, что Т не соответствует:

${ Displaystyle T Vdash Prov ( # ( neg Prov ( # ( rho))) rightarrow neg Prov ( # (Prov ( # ( rho)))}$ (следующий Т доказывая свою непротиворечивость, с ${ Displaystyle varphi = Prov ( # ( rho))}$ )
${ Displaystyle Т Vdash rho rightarrow neg Prov ( # ( rho))}$ (по построению ${ displaystyle rho}$ )
${ Displaystyle Т Vdash Prov ( # ( rho rightarrow neg Prov ( # ( rho)))}$ (по условию № 1 и теореме 2)
${ Displaystyle Т Vdash Prov ( # ( rho)) rightarrow Prov ( # ( neg Prov ( # ( rho)))}$ (по условию № 3 и теореме 3)
${ Displaystyle T Vdash Prov ( # ( rho)) rightarrow neg Prov ( # (Prov ( # ( rho)))}$ (по теоремам 1 и 4)
${ Displaystyle T Vdash Prov ( # ( rho)) rightarrow Prov ( # (Prov ( # ( rho)))}$ (по условию № 2)
${ Displaystyle Т Vdash neg Prov ( # ( rho))}$ (по теоремам 5 и 6)
${ Displaystyle Т Vdash neg Prov ( # ( rho)) rightarrow rho}$ (по построению ${ displaystyle rho}$ )
${ Displaystyle Т Vdash rho}$ (по теоремам 7 и 8)
${ Displaystyle Т Vdash Prov ( # ( rho))}$ (по условию 1 и теореме 9)