Основа спиральности - Helicity basis

в Стандартная модель, с помощью квантовая теория поля принято использовать основа спиральности для упрощения расчетов (из поперечные сечения, Например). В этой основе вращение квантуется по оси в направлении движения частицы.

Спиноры

Двухкомпонентный спиральность собственные состояния ${\displaystyle \xi _{\lambda }}$ удовлетворить

${\displaystyle \sigma \cdot {\hat {p}}\xi _{\lambda }\left({\hat {p}}\right)=\lambda \xi _{\lambda }\left({\hat {p}}\right)\,}$

куда

${\displaystyle \sigma \,}$ являются Матрицы Паули,

${\displaystyle {\hat {p}}\,}$ - направление импульса фермиона,

${\displaystyle \lambda =\pm 1\,}$ в зависимости от того, указывает ли вращение в том же направлении, что и ${\displaystyle {\hat {p}}\,}$ или наоборот.

Чтобы сказать больше о состоянии, ${\displaystyle \xi _{\lambda }\,}$ мы будем использовать общую форму фермион четырехимпульсный:

${\displaystyle p^{\mu }=\left(E,\left|{\vec {p}}\right|\sin {\theta }\cos {\phi },\left|{\vec {p}}\right|\sin {\theta }\sin {\phi },\left|{\vec {p}}\right|\cos {\theta }\right)\,}$

Тогда можно сказать, что два собственных состояния спиральности

${\displaystyle \xi _{+1}({\vec {p}})={\frac {1}{\sqrt {2\left|{\vec {p}}\right|\left(\left|{\vec {p}}\right|+p_{z}\right)}}}{\begin{pmatrix}\left|{\vec {p}}\right|+p_{z}\\p_{x}+ip_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}\\e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}\,}$

и

${\displaystyle \xi _{-1}({\vec {p}})={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {p}}|(|{\vec {p}}|+p_{z})}}}{\begin{pmatrix}-p_{x}+ip_{y}\\\left|{\vec {p}}\right|+p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-e^{-i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}\,}$

Их можно упростить, задав ось z таким образом, чтобы направление импульса было либо параллельным, либо антипараллельным, а точнее:

${\displaystyle {\hat {z}}=\pm {\hat {p}}\,}$.

В этой ситуации собственные состояния спиральности соответствуют моменту, когда импульс частицы равен ${\displaystyle {\hat {p}}=+{\hat {z}}\,}$

${\displaystyle \xi _{+1}({\hat {z}})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,}$ и ${\displaystyle \xi _{-1}({\hat {z}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,}$

тогда, когда импульс ${\displaystyle {\hat {p}}=-{\hat {z}}\,}$

${\displaystyle \xi _{+1}(-{\hat {z}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,}$ и ${\displaystyle \xi _{-1}(-{\hat {z}})={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\,}$

Волновая функция фермиона (спин 1/2)

Фермионная 4-компонентная волновая функция, ${\displaystyle \psi \,}$ можно разложить на состояния с определенным четырехимпульсом:

${\displaystyle \psi (x)=\int {{\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}{\sqrt {2E}}}}\sum _{\lambda \pm 1}{\left({\hat {a}}_{p}^{\lambda }u_{\lambda }(p)e^{-ip\cdot x}+{\hat {b}}_{p}^{\lambda }v_{\lambda }(p)e^{ip\cdot x}\right)}}\,}$

куда

${\displaystyle {\hat {a}}_{p}^{\lambda }\,}$ и ${\displaystyle {\hat {b}}_{p}^{\lambda }\,}$ являются операторы создания и уничтожения, и

${\displaystyle u_{\lambda }(p)\,}$ и ${\displaystyle v_{\lambda }(p)\,}$ импульс-пространство Спиноры Дирака для фермиона и антифермиона соответственно.

Выражаясь более явно, спиноры Дирака в базисе спиральности для фермиона имеют вид

${\displaystyle u_{\lambda }(p)={\begin{pmatrix}u_{-1}\\u_{+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {E-\lambda \left|{\vec {p}}\right|}}\chi _{\lambda }({\hat {p}})\\{\sqrt {E+\lambda \left|{\vec {p}}\right|}}\chi _{\lambda }({\hat {p}})\end{pmatrix}}\,}$

а для антифермиона

${\displaystyle v_{\lambda }(p)={\begin{pmatrix}v_{+1}\\v_{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\lambda {\sqrt {E+\lambda \left|{\vec {p}}\right|}}\chi _{-\lambda }({\hat {p}})\\\lambda {\sqrt {E-\lambda \left|{\vec {p}}\right|}}\chi _{-\lambda }({\hat {p}})\end{pmatrix}}}$

Матрицы Дирака

Чтобы использовать эти состояния спиральности, можно использовать Вейль (хиральный) представительство для Матрицы Дирака.

Волновые функции спина-1

Разложение плоской волны равно

${\displaystyle \psi (x)=\int {{\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}{\sqrt {2E}}}}\sum _{\lambda =0}^{3}\left({\hat {a}}_{p,\lambda }\epsilon _{\lambda }(p)e^{-ip\cdot x}+{\hat {a}}_{p,\lambda }^{\dagger }\epsilon _{\lambda }^{*}(p)e^{ip\cdot x}\right)}\,}$.

Для векторный бозон с массой м и четырехимпульсный ${\displaystyle q^{\mu }=(E,q_{x},q_{y},q_{z})}$, то поляризация векторы, квантованные по направлению его импульса, можно определить как

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon ^{\mu }(q,x)&={\frac {1}{\left|{\vec {q}}\right|q_{\text{T}}}}\left(0,q_{x}q_{z},q_{y}q_{z},-q_{\text{T}}^{2}\right)\\\epsilon ^{\mu }(q,y)&={\frac {1}{q_{\text{T}}}}\left(0,-q_{y},q_{x},0\right)\\\epsilon ^{\mu }(q,z)&={\frac {E}{m\left|{\vec {q}}\right|}}\left({\frac {\left|{\vec {q}}\right|^{2}}{E}},q_{x},q_{y},q_{z}\right)\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle q_{\text{T}}={\sqrt {q_{x}^{2}+q_{y}^{2}}}\,}$ поперечный импульс, а

${\displaystyle E={\sqrt {|{\vec {q}}|^{2}+m^{2}}}\,}$ - энергия бозона.