Лемма Хаутуса - Hautus lemma

В теория управления и в частности при изучении свойств линейный инвариантный во времени система в пространство состояний форма, Лемма Хаутуса, названный в честь Malo Hautus, может оказаться мощным инструментом. Этот результат появился впервые в ^[1] и.^[2] Сегодня его можно найти в большинстве учебников по теории управления.

Главный результат

Лемма существует в нескольких формах.

Лемма Хаутуса об управляемости

Лемма Хаутуса об управляемости говорит, что для квадратной матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ и ${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$ следующие эквивалентны:

1. Пара ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$ является управляемый
2. Для всех ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ он считает, что ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$
3. Для всех ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ которые являются собственными значениями ${\displaystyle \mathbf {A} }$ он считает, что ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

Лемма Хаутуса о стабилизируемости

Лемма Хаутуса о стабилизируемости говорит, что для квадратной матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ и ${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$ следующие эквивалентны:

1. Пара ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$ является стабилизируемый
2. Для всех ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ которые являются собственными значениями ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и для чего ${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$ он считает, что ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

Лемма Хаутуса о наблюдаемости

Лемма Хаутуса о наблюдаемости говорит, что для квадратной матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ и ${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$ следующие эквивалентны:

1. Пара ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$ является наблюдаемый
2. Для всех ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ он считает, что ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$
3. Для всех ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ которые являются собственными значениями ${\displaystyle \mathbf {A} }$ он считает, что ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$

Лемма Хаутуса об обнаружимости

Лемма Хаутуса об обнаруживаемости говорит, что для квадратной матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ и ${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$ следующие эквивалентны:

1. Пара ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$ является обнаруживаемый
2. Для всех ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ которые являются собственными значениями ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и для чего ${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$ он считает, что ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$

Рекомендации

• Зонтаг, Эдуард Д. (1998). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98489-5.
• Забчик, Ежи (1995). Математическая теория управления - введение. Бостон: Биркхаузер. ISBN  3-7643-3645-5.

1. Белевич, В. (1968). Классическая теория сети. Сан-Франциско: Холден – Дэй.
2. Попов, В. М. (1973). Гиперстабильность систем управления. Берлин: Springer-Verlag. п. 320.