Гармонический баланс - Harmonic balance

Гармонический баланс это метод, используемый для расчета установившаяся реакция из нелинейные дифференциальные уравнения,^[1] и в основном применяется к нелинейным электрические схемы^[2][3].^[4]Это частотная область метод расчета установившегося состояния, в отличие от различных область времени методы устойчивого состояния. Название «гармонический баланс» описывает метод, который начинается с закона Кирхгофа по току, записанного в частотной области и выбранном количестве гармоник. Синусоидальный сигнал, приложенный к нелинейному компоненту системы, будет генерировать гармоники основной частоты. Фактически, метод предполагает, что решение может быть представлено линейной комбинацией синусоид, затем уравновешивает синусоиды тока и напряжения, чтобы удовлетворить закон Кирхгофа. Этот метод обычно используется для моделирования схем, которые включают нелинейный элементы^[5] и наиболее подходит для систем с Обратная связь в котором предельные циклы происходить.

Микроволновые схемы были первоначальным применением методов гармонического баланса в электротехнике. СВЧ-схемы хорошо подходят, потому что исторически СВЧ-схемы состоят из множества линейных компонентов, которые могут быть непосредственно представлены в частотной области, а также нескольких нелинейных компонентов. Размеры системы обычно были небольшими. Для более общих схем этот метод считался непрактичным для всех, кроме этих очень маленьких схем, до середины 1990-х годов, когда Методы подпространства Крылова были применены к проблеме.^[6][7] Применение методов предварительно обусловленных подпространств Крылова позволило решить гораздо более крупные системы, как по размеру схемы, так и по количеству гармоник. Это сделало практическим использование современных методов гармонического баланса для анализа радиочастотных интегральных схем (RFIC).

Алгоритм

Алгоритм гармонического баланса - это специальная версия Метод Галеркина. Он используется для расчета периодических решений автономных и неавтономных дифференциально-алгебраические системы уравнений. Обработка неавтономных систем немного проще, чем обработка автономных. Неавтономная система DAE имеет представление

${\displaystyle 0=F(t,x,{\dot {x}})}$

с достаточно гладкой функцией ${\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$куда ${\displaystyle n}$ - количество уравнений и ${\displaystyle t,x,{\dot {x}}}$ являются заполнителями для времени, вектора неизвестных и вектора производных по времени.

Система не является автономной, если функция ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})}$ не является постоянным для (некоторых) фиксированных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}}$. Тем не менее, мы требуем, чтобы было известное период возбуждения ${\displaystyle T>0}$ такой, что ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})}$ является ${\displaystyle T}$-периодический.

Естественный кандидат в ${\displaystyle T}$-периодическим решением системы уравнений является Соболевское пространство ${\displaystyle H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ слабо дифференцируемых функций на интервале ${\displaystyle [0,T]}$ с периодическими граничными условиями ${\displaystyle x(0)=x(T)}$Предположим, что гладкость и структура ${\displaystyle F}$ гарантирует, что ${\displaystyle F(t,x(t),{\dot {x}}(t))}$ является квадратично интегрируемый для всех ${\displaystyle x\in H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$.

Система ${\displaystyle B:=\left\{\psi _{k}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$ гармонических функций ${\displaystyle \psi _{k}:=\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$ это Основа Шаудера из ${\displaystyle H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ и образует : Базис Гильберта из Гильбертово пространство ${\displaystyle H:=L^{2}([0,T],\mathbb {C} )}$ интегрируемых с квадратом функций. Следовательно, каждый кандидат в решение ${\displaystyle x\in H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ можно представить рядом Фурье ${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {x}}_{k}\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$ с коэффициентами Фурье ${\displaystyle {\hat {x}}_{k}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\psi _{k}^{*}(t)\cdot x(t)dt}$ и уравнение системы выполняется в слабом смысле, если для любой базовой функции ${\displaystyle \psi \in B}$ вариационное уравнение

${\displaystyle 0=\langle \psi ,F(t,x,{\dot {x}})\rangle _{H}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\psi ^{*}(t)\cdot F(t,x,{\dot {x}})dt}$

выполняется. Это вариационное уравнение представляет собой бесконечную последовательность скалярных уравнений, поскольку оно должно быть проверено для бесконечного числа базовых функций. ${\displaystyle \psi }$ в ${\displaystyle B}$.

Подход Галеркина к гармоническому балансу заключается в проецировании множества кандидатов, а также тестового пространства для вариационного уравнения на конечномерное подпространство, охватываемое конечной базой ${\displaystyle B_{N}:=\{\psi _{k}\mid k\in \mathbb {Z} {\text{ with }}-N\leq k\leq N\}}$.

Это дает конечномерное решение ${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {x}}_{k}\psi _{k}(t)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {x}}_{k}\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$ и конечная система уравнений

${\displaystyle 0=\langle \psi _{k},F(t,x,{\dot {x}})\rangle \quad {\text{ with }}k=-N,\ldots ,N}$

которое можно решить численно.

В специальном контексте электроники алгоритм начинается с текущего закона Кирхгофа, записанного в частотная область. Для повышения эффективности процедуры схему можно разделить на линейную и нелинейную части, так как линейная часть легко описывается и вычисляется с помощью узловой анализ непосредственно в частотной области.

Сначала делается первоначальное предположение для решения, затем продолжается итерационный процесс:

1. Напряжения ${\displaystyle V}$ используются для расчета токов линейной части, ${\displaystyle I_{\text{linear}}}$ в частотной области.
2. Напряжения ${\displaystyle V}$ затем используются для расчета токов в нелинейной части, ${\displaystyle I_{\text{nonlinear}}}$. Поскольку нелинейные устройства описываются во временной области, напряжения частотной области ${\displaystyle V}$ преобразуются во временную область, обычно с использованием обратных быстрых преобразований Фурье. Затем нелинейные устройства оцениваются с использованием сигналов напряжения во временной области для получения их токов во временной области. Затем токи преобразуются обратно в частотную область.
3. В соответствии с Законы цепи Кирхгофа, сумма токов должна быть равна нулю, ${\displaystyle \epsilon =I_{\text{linear}}+I_{\text{nonlinear}}=0}$. Итерационный процесс, обычно Итерация Ньютона, используется для обновления сетевых напряжений ${\displaystyle V}$ таким образом, что текущий остаток ${\displaystyle \epsilon }$ уменьшен. Этот шаг требует формулировки Якобиан ${\displaystyle {\tfrac {d\epsilon }{dV}}}$.

Сходимость достигается, когда ${\displaystyle \epsilon }$ достаточно мала, при этом известны все напряжения и токи стационарного решения, чаще всего представляемые как коэффициенты Фурье.

Инструменты

Инструмент гармонического баланса, названный Гибкий, для микроволновых схем доступна для скачивания.^[8]также была разработана, но эта версия недоступна. Xyce, высокопроизводительный параллельный электронный симулятор, который может выполнять анализ гармонического баланса.

Метод гармонического баланса также изначально поддерживается для общего нелинейного мультифизического моделирования методом конечных элементов в библиотеке C ++ FEM с открытым исходным кодом. Sparselizard.

Рекомендации

1. Деуфлхард, Питер (2006). Методы Ньютона для нелинейных задач. Берлин: Springer-Verlag. Раздел 7.3.3 .: Метод коллокации Фурье.
2. Гилмор, Р. Дж .; Стир, М. Б. (1991). «Анализ нелинейных цепей методом гармонического баланса. Обзор техники. Часть I. Вводные понятия». Int. Дж. Микроу. Mill.-Wave Comput.-Aided Eng. 1: 22–37. Дои:10.1002 / ммce.4570010104.
3. Куртис, В. Р., Эттенберг, М. (4–6 июня 1985 г.). «Нелинейная модель полевого транзистора на основе GaAs для использования в конструкции выходных цепей для усилителей мощности». Дайджест Международного микроволнового симпозиума IEEE (MTT-S). Сент-Луис, Миссури, США: 405–408.
4. Nakhla, Michel S .; Влах, Иржи (февраль 1976 г.). «Методика кусочно-гармонического баланса для определения периодического отклика нелинейных систем». Транзакции IEEE в схемах и системах. CAS-23: 85–91. ISSN  0098-4094.
5. Маас, Стивен А. (2003). Нелинейные СВЧ и ВЧ схемы. Артек Хаус. ISBN  978-1-58053-484-0.
6. Feldmann, P .; Melville, B .; Лонг, Д. (1996). Эффективный анализ в частотной области больших нелинейных аналоговых схем. Материалы конференции Custom Integrated Circuits Conference. С. 461–464. Дои:10.1109 / CICC.1996.510597. ISBN  978-0-7803-3117-4.
7. Brachtendorf, H.G .; Welsch, G .; Лаур, Р. (1995). Быстрое моделирование установившегося состояния цепей методом гармонического баланса. Труды, Международный симпозиум по схемам и системам. 2. п. 1388. Дои:10.1109 / ISCAS.1995.520406. ISBN  978-0-7803-2570-8.
8. Rhodes, D .; Перлман, Б. (май 1999 г.). «Параллельные вычисления для моделирования цепей СВЧ». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. 45 (5): 587–592. Дои:10.1109/22.575573.