Теорема Хаагса - Haags theorem

Рудольф Хааг постулировал, что картинка взаимодействия не существует во взаимодействующем, релятивистском квантовая теория поля (QFT),^[1] что-то теперь широко известное как Теорема Хаага. Первоначальное доказательство Хаага было впоследствии обобщено рядом авторов, особенно Диком Холлом и Артур Вайтман, которые пришли к выводу, что единый универсальный Гильбертово пространство представления не достаточно для описания как свободных, так и взаимодействующих полей.^[2] В 1975 г. Майкл С. Рид и Барри Саймон доказал, что теорема типа Хаага применима и к свободным нейтральным скалярные поля разных масс,^[3] из чего следует, что картина взаимодействия не может существовать даже при отсутствии взаимодействий.

Формальное описание

В современном виде теорему Хаага можно сформулировать следующим образом:^[4]

Рассмотрим два точных представления канонические коммутационные соотношения (CCR), ${\displaystyle (H_{1},\{O_{1}^{i}\})}$ и${\displaystyle (H_{2},\{O_{2}^{i}\})}$ (куда ${\displaystyle H_{n}}$ обозначают соответствующие гильбертовы пространства и ${\displaystyle \{O_{n}^{i}\}}$ сборник операторов в CCR). Эти два представления называются унитарно эквивалентный тогда и только тогда, когда существует унитарное отображение ${\displaystyle U}$ из гильбертова пространства ${\displaystyle H_{1}}$ в гильбертово пространство ${\displaystyle H_{2}}$ так что для j, ${\displaystyle O_{2}^{j}=UO_{1}^{j}U^{-1}}$. Унитарная эквивалентность - необходимое условие для того, чтобы оба представления доставляли одинаковые математические ожидания соответствующих наблюдаемых. Теорема Хаага утверждает, что если два представления являются унитарно эквивалентными представлениями скалярных полей, и оба представления содержат уникальный состояние вакуума, два вакуумных состояния связаны унитарной эквивалентностью. Следовательно, ни один из полевых гамильтонианов не может поляризовать вакуум другого поля. Более того, если два вакуума лоренц-инвариантны, первые четыре Функции Вайтмана из двух полей должны быть равны. В частности, если одно из полей является бесплатным, то и другое тоже.

Такое положение вещей резко контрастирует с обычным нерелятивистским подходом. квантовая механика, где всегда существует унитарная эквивалентность между двумя представлениями; факт, который используется при построении картинка взаимодействия где операторы развиваются с использованием представления свободного поля, в то время как состояния развиваются с использованием представления взаимодействующего поля. В рамках формализма КТП такой картины обычно не существует, потому что эти два представления унитарно неэквивалентны. Таким образом, практикующий QFT сталкивается с так называемым проблема выбора, а именно проблема выбора «правильного» представления среди несчетного множества неэквивалентных представлений.

Физическая (эвристическая) точка зрения

Как уже было замечено Хаагом в его оригинальной работе, это поляризация вакуума это лежит в основе теоремы Хаага. Любое взаимодействующее квантовое поле (включая невзаимодействующие поля различной массы) поляризует вакуум, и, как следствие, его вакуумное состояние находится внутри перенормированного гильбертова пространства. ${\displaystyle H_{R}}$ которое отличается от гильбертова пространства ${\displaystyle H_{F}}$ свободного поля. Хотя изоморфизм всегда можно было найти, что отображает одно гильбертово пространство в другое, теорема Хаага подразумевает, что никакое такое отображение не даст унитарно эквивалентных представлений соответствующего CCR, то есть однозначных физических результатов.

Обходные пути

Среди предположений, которые приводят к теореме Хаага, есть инвариантность перевода системы. Следовательно, системы, которые могут быть установлены внутри коробки с периодические граничные условия или которые взаимодействуют с подходящими внешними потенциалами, выходят за рамки выводов теоремы.^[5] Haag^[6] и Дэвид Рюэлль^[7] представили Теория рассеяния Хаага – Рюэля, который имеет дело с асимптотическими свободными состояниями и тем самым служит для формализации некоторых предположений, необходимых для Формула восстановления LSZ.^[8] Однако эти методы не могут быть применены к безмассовым частицам и имеют нерешенные проблемы со связанными состояниями.

Противоречивые реакции практиков QFT

В то время как некоторые физики и философы физики неоднократно подчеркивали, насколько серьезно теорема Хаага потрясает основы КТП, большинство практиков КТП просто игнорируют эту проблему. Большинство текстов по квантовой теории поля ориентированы на практическое понимание Стандартная модель о взаимодействиях элементарных частиц даже не упоминают об этом, неявно предполагая, что может быть найден некий строгий набор определений и процедур, чтобы закрепить мощные и хорошо подтвержденные эвристические результаты, о которых они сообщают.

Например, асимптотическая структура (см. КХД струи ) представляет собой конкретный расчет, который полностью согласуется с экспериментом, но, тем не менее, не выполняется по теореме Хаага. По общему мнению, это не какой-то расчет, на который просто наткнулись, а, скорее, воплощение физической истины. Практические расчеты и инструменты мотивированы и оправданы обращением к великому математическому формализму, называемому QFT; Теорема Хаага предполагает, что формализм не является хорошо обоснованным, однако практические расчеты достаточно далеки от обобщенного формализма, поэтому любые недостатки в нем не влияют (или сводят на нет) практические результаты.

Как отметил Пол Теллер: Все должны согласиться с тем, что как часть математики теорема Хаага является достоверным результатом, который, по крайней мере, кажется, ставит под сомнение математические основы взаимодействующей квантовой теории поля, и согласиться с тем, что в то же время теория оказалась удивительно успешной в применении к экспериментальным результатам. .^[9] Трейси Люфер предположила, что широкий спектр противоречивых реакций на теорему Хаага может частично быть вызван тем фактом, что одно и то же существует в разных формулировках, которые, в свою очередь, были доказаны в разных формулировках КТП, таких как аксиоматический подход Вайтмана или формализм LSZ.^[10] По словам Люфера, «немногие, кто упоминает об этом, склонны рассматривать это как нечто важное, что кто-то (другой) должен тщательно исследовать».

Лоуренс Скляр далее указал: «В теории могут быть концептуальные проблемы, которые кажутся результатом математических артефактов. Теоретику кажется, что это не фундаментальные проблемы, коренящиеся в какой-то глубокой физической ошибке в теории, а, скорее, следствие некоторой неудачи в способе выражения теории. Теорема Хаага, возможно, представляет собой трудность такого рода ».^[11]

Дэвид Уоллес сравнил достоинства обычного QFT с достоинствами алгебраическая КТП (AQFT) и заметил, что ... AQFT имеет унитарно неэквивалентные представления даже в пространственно конечных областях, но эта унитарная неэквивалентность проявляется только в отношении значений математического ожидания в произвольных малых областях пространства-времени, и это как раз те значения ожидания, которые не несут реальной информации о мире.^[12] Он оправдывает последнее утверждение с помощью идей, полученных из современной теории ренормгруппы, а именно того факта, что мы можем поглотить все наше незнание того, как реализуется обрезание [то есть короткодействующее обрезание, необходимое для выполнения процедуры перенормировки], в значениях конечного числа коэффициентов, которые можно измерить эмпирически. Что касается последствий теоремы Хаага, это наблюдение подразумевает следующее: поскольку КТП не пытается предсказать фундаментальные параметры, такие как массы частиц или константы связи, потенциально вредные эффекты, возникающие из унитарно неэквивалентных представлений, остаются поглощенными эмпирическими значениями, вытекающими из измерений этих параметры (в заданном масштабе длины), которые легко импортируются в QFT. Таким образом, они остаются невидимыми для практикующего QFT.

Рекомендации

1. Хааг, Р. (1955). «О квантовых теориях поля» (PDF). Matematisk-fysiske Meddelelser. 29: 12.
2. Холл, Д .; Вайтман, А. С. (1957). «Теорема об инвариантных аналитических функциях с приложениями к релятивистской квантовой теории поля». Matematisk-fysiske Meddelelser. 31: 1.
3. Рид М. и Саймон Б. Методы современной математической физики, Vol. II, 1975 г., Фурье-анализ, самосопряженность, Academic Press, Нью-Йорк (теорема X.46).
4. Джон Эрман, Дорин Фрейзер, "Теорема Хаага и ее значение для основ квантовой теории поля", Erkenntnis 64, 305(2006) онлайн в philsci-archive
5. Рид, М .; Саймон Б. (1979). Теория рассеяния. Методы современной математической физики. III. Нью-Йорк: Academic Press.
6. Хааг, Р. (1958). «Квантовые теории поля с составными частицами и асимптотическими условиями». Phys. Ред. 112 (2): 669–673. Bibcode:1958ПхРв..112..669Г. Дои:10.1103 / PhysRev.112.669.
7. Рюэль, Д. (1962). «Об асимптотическом условии в квантовой теории поля». Helvetica Physica Acta. 35: 147–163.
8. Фреденхаген, Клаус (2009). Квантовая теория поля (PDF). Конспект лекций, Гамбургский университет.
9. Теллер, Пол (1997). Пояснительное введение в квантовую теорию поля. Издательство Принстонского университета. п. 115.
10. Люфер, Т. (2005). «Кто доказал теорему Хаага?». Международный журнал теоретической физики. 44 (11): 1993–2003. Bibcode:2005IJTP ... 44.1995L. Дои:10.1007 / s10773-005-8977-z.
11. Скляр, Лоуренс (2000), Теория и правда: философская критика в рамках фундаментальной науки. Издательство Оксфордского университета.
12. Уоллес, Дэвид (2011). Серьезное отношение к физике элементарных частиц: критика алгебраического подхода к квантовой теории поля. Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики 42 (2): 116-125.

дальнейшее чтение

• Фрейзер, Дорин (2006). Теорема Хаага и интерпретация квантовых теорий поля с взаимодействиями. Кандидат наук. Тезис. Университет Питтсбурга.
• Арагеоргис, А. (1995). Поля, частицы и кривизна: основы и философские аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Кандидат наук. Тезис. Univ. Питтсбурга.
• Бэйн, Дж. (2000). «Против двойственности частицы / поля: асимптотические состояния частиц и интерполяционные поля во взаимодействующей КТП (или: Кто боится теоремы Хаага?)». Erkenntnis. 53 (3): 375–406. Дои:10.1023 / А: 1026482100470.