Формализм HPO - HPO formalism

В Оператор проекции истории (HPO) формализм - это подход к временный квантовая логика разработан Крис Ишем. Он имеет дело с логической структурой квантово-механический предложения утверждалось в разные моменты времени.

Введение

В стандартной квантовой механике физическая система связана с Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Состояния системы в фиксированное время представлены нормализованными векторами в пространстве и физическими наблюдаемые представлены Эрмитовы операторы на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Физическое предложение ${\displaystyle \,P}$ о системе в фиксированное время может быть представлено оператор проекции ${\displaystyle {\hat {P}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (Видеть квантовая логика ). Это представление связывает воедино решетка операции в решетке логических предложений и решетке операторов проектирования в гильбертовом пространстве (см. квантовая логика ).

Формализм HPO является естественным расширением этих идей для предложений о системе, которые касаются более чем одного раза.

Предложения по истории

Однородные истории

А предложение однородной истории ${\displaystyle \,\alpha }$ представляет собой последовательность одноразовых предложений ${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$ указано в разное время ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$. Эти времена называются временная поддержка истории. Обозначим предложение ${\displaystyle \,\alpha }$ так как ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$ и прочтите это как

"${\displaystyle \alpha _{t_{1}}}$ вовремя ${\displaystyle t_{1}}$ верно, а затем ${\displaystyle \alpha _{t_{2}}}$ вовремя ${\displaystyle t_{2}}$ верно, а затем ${\displaystyle \ldots }$ а потом ${\displaystyle \alpha _{t_{n}}}$ вовремя ${\displaystyle t_{n}}$ правда"

Неоднородные истории

Не все исторические суждения могут быть представлены последовательностью одноразовых суждений в разные времена. Они называются неоднородные исторические предложения. Примером может служить предложение ${\displaystyle \,\alpha }$ ИЛИ ${\displaystyle \,\beta }$ для двух однородных историй ${\displaystyle \,\alpha ,\beta }$.

Операторы проекции истории

Ключевое наблюдение формализма HPO - представление исторических предложений операторами проекции на история гильбертова пространства. Отсюда и название «Оператор проекции истории» (HPO).

За однородную историю ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$ мы можем использовать тензорное произведение определить проектор

${\displaystyle {\hat {\alpha }}:={\hat {\alpha }}_{t_{1}}\otimes {\hat {\alpha }}_{t_{2}}\otimes \ldots \otimes {\hat {\alpha }}_{t_{n}}}$

где ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{t_{i}}}$ оператор проекции на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ что представляет собой предложение ${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$ вовремя ${\displaystyle t_{i}}$.

Эта ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ является проекционным оператором на тензорное произведение «история гильбертова пространства» ${\displaystyle H={\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}}$

Не все операторы проекции на ${\displaystyle H}$ можно записать в виде суммы тензорных произведений вида ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$. Эти другие операторы проекции используются для представления неоднородных историй путем применения решеточных операций к однородным историям.

Временная квантовая логика

Представление предложений истории проекторами на гильбертово пространство истории естественным образом кодирует логическую структуру предложений истории. В решетка операции над множеством проекционных операций на историческом гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ может применяться для моделирования решетки логических операций с историческими предложениями.

Если две однородные истории ${\displaystyle \,\alpha }$ и ${\displaystyle \,\beta }$ не имеют той же временной поддержки, которую они могут изменить так, чтобы это было. Если ${\displaystyle \,t_{i}}$ находится во временной поддержке ${\displaystyle \,\alpha }$ но нет ${\displaystyle \,\beta }$ (например) тогда новое утверждение однородной истории, которое отличается от ${\displaystyle \,\beta }$ путем включения предложения "всегда верно" каждый раз ${\displaystyle \,t_{i}}$ может быть сформирован. Таким образом, временные опоры ${\displaystyle \,\alpha ,\beta }$ всегда можно соединить вместе. Что, следовательно, должно предполагать, что все однородные истории имеют одну и ту же временную опору?

Теперь мы представляем логические операции для однородных исторических предложений. ${\displaystyle \,\alpha }$ и ${\displaystyle \,\beta }$ такой, что ${\displaystyle {\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}}$

Соединение (И)

Если ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ две однородные истории, то историческое предложение "${\displaystyle \,\alpha }$ и ${\displaystyle \,\beta }$"также является однородной историей. Она представлена ​​оператором проекции

${\displaystyle {\widehat {\alpha \wedge \beta }}:={\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$ ${\displaystyle (={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }})}$

Дизъюнкция (ИЛИ)

Если ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ две однородные истории, то предложение истории "${\displaystyle \,\alpha }$ или ${\displaystyle \,\beta }$"в целом не является однородной историей. Она представлена ​​оператором проекции

${\displaystyle {\widehat {\alpha \vee \beta }}:={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$

Отрицание (НЕ)

Операция отрицания в решетке проекционных операторов принимает ${\displaystyle {\hat {P}}}$ к

${\displaystyle \neg {\hat {P}}:=\mathbb {I} -{\hat {P}}}$

где ${\displaystyle \mathbb {I} }$ это оператор идентификации на гильбертовом пространстве. Таким образом, проектор, используемый для представления предложения ${\displaystyle \neg \alpha }$ (т.е. "не ${\displaystyle \alpha }$") является

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}:=\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}}$

где ${\displaystyle \mathbb {I} }$ является тождественным оператором в гильбертовом пространстве истории.

Пример: двукратная история

В качестве примера рассмотрим отрицание предложения двукратной однородной истории. ${\displaystyle \,\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2})}$. Проектор для представления предложения ${\displaystyle \neg \alpha }$ является

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}=\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1}\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$${\displaystyle =(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}+{\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})+(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$

Термины, которые встречаются в этом выражении:

• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$
• ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$
• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$.

Каждый можно интерпретировать следующим образом:

• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$ ложно и ${\displaystyle \,\alpha _{2}}$ правда
• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$ правда и ${\displaystyle \,\alpha _{2}}$ ложно
• и то и другое ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$ ложно и ${\displaystyle \,\alpha _{2}}$ ложно

Эти три однородные истории, объединенные операцией ИЛИ, включают в себя все возможности того, как утверждение "${\displaystyle \,\alpha _{1}}$ а потом ${\displaystyle \,\alpha _{2}}$"может быть ложным. Таким образом, мы видим, что определение ${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}}$ согласен с тем, что предложение ${\displaystyle \neg \alpha }$ должно означать.

использованная литература

• Си Джей Ишам, Квантовая логика и исторический подход к квантовой теории, J. Math. Phys. 35 (1994) 2157-2185, arXiv: gr-qc / 9308006v1