Методы H-бесконечности в теории управления - H-infinity methods in control theory

ЧАС_∞ (т.е. "ЧАС-бесконечность") методы используются в теория управления синтезировать контроллеры для достижения стабилизации с гарантированной производительностью. Использовать ЧАС_∞ методов, разработчик элементов управления выражает проблему управления как математическая оптимизация проблема, а затем находит контроллер, который решает эту оптимизацию. ЧАС_∞ методы имеют преимущество перед классическими методами контроля в том, что ЧАС_∞ методы легко применимы к задачам, включающим многомерные системы с перекрестной связью между каналами; недостатки ЧАС_∞ методы включают в себя уровень математического понимания, необходимый для их успешного применения, и потребность в достаточно хорошей модели системы для управления. Важно помнить, что полученный контроллер является оптимальным только в отношении заданной функции стоимости и не обязательно представляет собой лучший контроллер с точки зрения обычных показателей производительности, используемых для оценки контроллеров, таких как время установления, затраченная энергия и т. Д. Кроме того, нелинейные ограничения, такие как насыщенность, обычно не учитываются. Эти методы были внедрены в теорию управления в конце 1970-х - начале 1980-х гг. Джордж Замес (минимизация чувствительности),^[1] Дж. Уильям Хелтон (широкополосное согласование),^[2]и Аллен Танненбаум (оптимизация прибыли).^[3]

Фраза ЧАС_∞ контроль происходит от названия математического пространства, в котором происходит оптимизация: ЧАС_∞ это Харди космос из матрица -значные функции, которые аналитический и ограничена в открытой правой половине комплексная плоскость определяется как Re (s)> 0; то ЧАС_∞ norm - максимальное сингулярное значение функции в этом пространстве. (Это можно интерпретировать как максимальное усиление в любом направлении и на любой частоте; для SISO систем, это фактически максимальная величина частотной характеристики.) ЧАС_∞ Для минимизации воздействия возмущения в замкнутом контуре могут использоваться методы: в зависимости от постановки задачи воздействие будет измеряться либо с точки зрения стабилизации, либо с точки зрения производительности.

Одновременная оптимизация надежной работы и надежной стабилизации затруднена. Один из методов, который приближается к достижению этого, - ЧАС_∞ петлеобразование, что позволяет разработчику системы управления применять классические концепции формирования контура к многопараметрической частотной характеристике, чтобы получить хорошие устойчивые характеристики, а затем оптимизирует отклик около полосы пропускания системы для достижения хорошей устойчивой стабилизации.

Коммерческое программное обеспечение доступно для поддержки ЧАС_∞ синтез контроллера.

Постановка проблемы

Во-первых, процесс должен быть представлен в следующей стандартной конфигурации:

Завод п имеет два входа, экзогенный вход ш, который включает опорный сигнал и возмущения, а также управляемые переменные ты. Есть два выхода, сигналы ошибки z что мы хотим минимизировать, а измеряемые переменные v, которые мы используем для управления системой. v используется в K для вычисления управляемых переменных ты. Обратите внимание, что все это обычно векторов, в то время как п и K находятся матрицы.

В формулах система:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

Следовательно, можно выразить зависимость z на ш в качестве:

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

Называется ниже дробно-линейное преобразование, ${\displaystyle F_{\ell }}$ определено (индекс происходит от ниже):

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

Следовательно, цель ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ дизайн управления - найти контроллер ${\displaystyle \mathbf {K} }$ такой, что ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$ сводится к минимуму согласно ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$ норма. То же определение применяется к ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ дизайн управления. Бесконечная норма матрица передаточной функции ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$ определяется как:

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

куда ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ это максимум исключительное значение матрицы ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$.

Достижимый ЧАС_∞ Норма замкнутой системы в основном задается через матрицу D₁₁ (когда система п дается в виде (А, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁₁, D₁₂, D₂₂, D₂₁)). Есть несколько способов попасть на ЧАС_∞ контроллер:

• А Параметризация Юлы-Кучера замкнутого контура часто приводит к контроллеру очень высокого порядка.
• Риккати -основанные подходы решают 2 Уравнения Риккати чтобы найти контроллер, но требуются несколько упрощающих предположений.
• Переформулировка уравнения Риккати на основе оптимизации использует линейные матричные неравенства и требует меньше предположений.

Смотрите также

• Харди космос
• H квадрат
• Формирование петли H-бесконечности
• Линейно-квадратично-гауссовское управление (LQG)
• Матрица системы Розенброка

Рекомендации

1. Замес, Джордж (1981). «Обратная связь и оптимальная чувствительность: преобразования эталонных моделей, мультипликативные полунормы и приближенные обратные». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 26 (2): 301–320. Дои:10.1109 / tac.1981.1102603.
2. Хелтон, Дж. Уильям (1978). «Орбитальная структура действия полугруппы преобразований Мебиуса на H-бесконечности (широкополосное согласование)». Adv. Математика. Дополнение Шпилька. 3: 129–197.
3. Танненбаум, Аллен (1980). «Стабилизация с обратной связью линейных динамических объектов с неопределенностью коэффициента усиления». Международный журнал контроля. 32 (1): 1–16. Дои:10.1080/00207178008922838.

Библиография

• Barbu, V .; Шритаран, Шивагуру С. (1998), "H-бесконечное управление динамикой жидкости" (PDF), Труды Королевского общества А, 545 (1979): 3009–3033, CiteSeerX  10.1.1.177.4397, Дои:10.1098 / rspa.1998.0289.

• Дойл, Джон; Фрэнсис, Брюс; Танненбаум, Аллен (1992), Теория управления обратной связью, MacMillan.

• Грин, М .; Лаймбир, Д. (1995), Линейное надежное управление, Прентис Холл.

• Саймон, Дэн (2006), Оценка оптимального состояния: подходы Калмана, H-бесконечности и нелинейные подходы, Wiley.

• Скогестад, Сигурд; Постлтуэйт, Ян (1996), Управление многовариантной обратной связью: анализ и проектирование, Вайли, ISBN  978-0-471-94277-1.

• Скогестад, Сигурд; Постлтуэйт, Ян (2005), Управление многовариантной обратной связью: анализ и проектирование (2-е изд.), Wiley, ISBN  978-0-470-01167-6.