Дисперсия групповой скорости - Group velocity dispersion

В оптика, дисперсия групповой скорости (ДГС) - характеристика дисперсионная среда, чаще всего используется для определения того, как среда повлияет на длительность проходящего через нее оптического импульса. Формально GVD определяется как производная от обратной величины групповая скорость света в материале относительно угловая частота,^[1][2]

${\displaystyle {\textrm {GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega )}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}$

где ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \omega _{0}}$ - угловые частоты, а групповая скорость ${\displaystyle v_{g}(\omega )}$ определяется как ${\displaystyle v_{g}(\omega )\equiv \partial \omega /\partial k}$. Единицами дисперсии групповой скорости являются [время]²/ [расстояние], часто выражается в фс.²/ мм.

Эквивалентно, дисперсия групповой скорости может быть определена в терминах зависящего от среды волнового вектора ${\displaystyle k(\omega )}$ согласно с

${\displaystyle {\textrm {GVD}}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}$

или с точки зрения показатель преломления ${\displaystyle n(\omega )}$ согласно с

${\displaystyle {\textrm {GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right)_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.}$

Приложения

Дисперсия групповой скорости обычно используется для оценки количества щебетать который будет наложен на импульс света после прохождения через интересующий материал. Соответствующее выражение дается

${\displaystyle {\textrm {chirp}}=({\textrm {material}}\,\,{\textrm {thickness}})\,\times \,{\textrm {GVD}}(\omega _{0})\,\times \,({\textrm {bandwidth}}).}$

Вывод

Простую иллюстрацию того, как ДГС можно использовать для определения импульсного чирпа, можно увидеть, посмотрев на эффект ограниченный трансформацией импульс длительности ${\displaystyle \sigma }$ проходя через плоскую среду толщиной d. Перед прохождением через среду фазовые сдвиги всех частот выравниваются по времени, и импульс можно описать как функцию времени согласно выражению

${\displaystyle E(t)=Ae^{-{\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},}$

или, что то же самое, в зависимости от частоты согласно выражению

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}}$

(параметры А и B являются константами нормализации) .Прохождение через среду приводит к частотно-зависимому накоплению фазы. ${\displaystyle \Delta \phi (\omega )=k(\omega )d}$ , так что пост-средний импульс можно описать как

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}e^{ik(\omega )d}.}$

В целом показатель преломления ${\displaystyle n(\omega )}$, а значит, волновой вектор ${\displaystyle k(\omega )=n(\omega )\omega /c}$, может быть произвольной функцией ${\displaystyle \omega }$, что затрудняет аналитическое выполнение обратного преобразования Фурье обратно во временную область. Однако, если полоса пропускания импульса мала по сравнению с кривизной ${\displaystyle n}$, то хорошие приближения влияния показателя преломления можно получить, заменив ${\displaystyle k(\omega )}$ с этими Расширение Тейлора сосредоточено вокруг ${\displaystyle \omega _{0}}$:

${\displaystyle {\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}\quad +\quad \underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})\quad +\quad {\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\textrm {GVD}}(\omega -\omega _{0})^{2}\quad +\quad ...}$

Усечение этого выражения и вставка его в выражение в частотной области пост-среды приводит к выражению во временной области пост-среды:

${\displaystyle E_{post}(t)=A_{post}\exp \left[-{\frac {(t-k'(\omega _{0})d)^{2}}{4(\sigma ^{2}-i\,{\textrm {GVD}}\,d/2)}}\right]e^{i[k(\omega _{0})d-\omega _{0}t]}}$.

В итоге пульс удлиняется до интенсивности. среднеквадратичное отклонение ценность

${\displaystyle \sigma _{post}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,\times \,{\textrm {GVD}}(\omega _{0})\,\times \,\left({\frac {1}{2\sigma }}\right)\right]^{2}}}}$

таким образом подтверждая исходное выражение. Обратите внимание, что для ограниченный трансформацией импульс σ_тσ_т = 1/2, что позволяет отождествить 1 / (2σ_т) как пропускную способность.

Альтернативное происхождение

Альтернативный вывод взаимосвязи между импульсным чирпом и GVD, который более непосредственно иллюстрирует причину, по которой GVD может быть определен производной обратной групповой скорости, может быть изложен следующим образом. Рассмотрим два ограниченных преобразованием импульса несущих частот ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{2}}$, которые изначально перекрываются по времени. После прохождения через среду эти два импульса будут иметь временную задержку между их соответствующими центрами огибающей импульса, определяемую выражением

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right).}$

Выражение можно аппроксимировать как Расширение Тейлора, давая

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}$

или,

${\displaystyle \Delta T=d\,\times \,{\textrm {GVD}}(\omega _{1})\,\times \,(\omega _{2}-\omega _{1}).}$

Отсюда можно представить масштабирование этого выражения с двух импульсов до бесконечного множества. Разница частот ${\displaystyle \omega _{2}-\omega _{1}}$ необходимо заменить пропускной способностью, а время задержки ${\displaystyle \Delta T}$ превращается в индуцированное чириканье.

Дисперсия групповой задержки

Тесно связанной, но независимой величиной является дисперсия групповой задержки (GDD), определенный таким образом, что дисперсия групповой скорости представляет собой дисперсию групповой задержки на единицу длины. GDD обычно используется в качестве параметра для характеристики слоистых зеркал, где дисперсия групповой скорости не особенно хорошо определена, но чирп, индуцированный после отражения от зеркала, может быть хорошо охарактеризован. Единицы дисперсии групповой задержки: [время]², часто выражается в фс².

Дисперсия групповой задержки (GDD) оптического элемента является производной от групповая задержка относительно угловая частота, а также вторая производная оптической фазы. ${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2}}}}$. Это мера хроматическая дисперсия элемента. GDD связана с параметром полной дисперсии ${\displaystyle D_{tot}}$ так как

$${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}D_{tot}}$$

внешние ссылки

• Онлайн-база данных показателя преломления: [1].
• Энциклопедия RP Photonics: [2].
• Коммерческое измерение оптической дисперсии с помощью интерферометрии белого света

использованная литература

1. Бойд, Роберт. W (2007). Нелинейная оптика (3-е изд.). Эльзевир.
2. Пашотта, доктор Рюдигер. «Энциклопедия лазерной физики и техники - дисперсия групповых скоростей». www.rp-photonics.com. Получено 2016-05-15.