Уравнение Грэда – Шафранова. - Grad–Shafranov equation

В Уравнение Грэда – Шафранова. (Х. Град и Х. Рубин (1958); Виталий Дмитриевич Шафранов (1966)) представляет собой уравнение равновесия в идеальном магнитогидродинамика (МГД) для двумерной плазма, например осесимметричная тороидальная плазма в токамак. Это уравнение принимает тот же вид, что и Уравнение Хикса из гидродинамики.^[1] Это уравнение представляет собой двумерный, нелинейный, эллиптическое уравнение в частных производных получается при сведении идеальных уравнений МГД к двум измерениям, часто для случая тороидальный осесимметрия (случай актуален в токамаке). Принимая ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ в качестве цилиндрических координат функция потока ${\displaystyle \psi }$ регулируется уравнением,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\mu _{0}r^{2}{\frac {dp}{d\psi }}-{\frac {1}{2}}{\frac {dF^{2}}{d\psi }},}$

куда ${\displaystyle \mu _{0}}$ это магнитная проницаемость, ${\displaystyle p(\psi )}$ это давление, ${\displaystyle F(\psi )=rB_{\phi }}$ а магнитное поле и ток соответственно определяются выражениями

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {B}}&={\frac {1}{r}}\nabla \psi \times {\hat {e}}_{\theta }+{\frac {F}{r}}{\hat {e}}_{\theta },\\\mu _{0}{\vec {J}}&={\frac {1}{r}}{\frac {dF}{d\psi }}\nabla \psi \times {\hat {e}}_{\theta }-\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right]{\hat {e}}_{\theta }.\end{aligned}}}$

Природа равновесия, будь то токамак, пинч с обращенным полем и т. д. в значительной степени определяется выбором двух функций ${\displaystyle F(\psi )}$ и ${\displaystyle p(\psi )}$ а также граничные условия.

Вывод (в координатах плиты)

Далее предполагается, что система двумерна с ${\displaystyle z}$ как инвариантная ось, т.е. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}=0}$ для всех количеств. Тогда магнитное поле можно записать в декартовых координатах как

${\displaystyle \mathbf {B} =\left({\frac {\partial A}{\partial y}},-{\frac {\partial A}{\partial x}},B_{z}(x,y)\right),}$

или более компактно,

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}+B_{z}{\hat {\mathbf {z} }},}$

куда ${\displaystyle A(x,y){\hat {\mathbf {z} }}}$ это векторный потенциал для плоского (x и y компоненты) магнитного поля. Обратите внимание, что на основе этой формы для B мы видим, что А постоянно вдоль любой данной силовой линии магнитного поля, так как ${\displaystyle \nabla A}$ везде перпендикулярно B. (Также обратите внимание, что -A - это функция потока ${\displaystyle \psi }$ упомянутый выше.)

Двумерные стационарные магнитные структуры описываются балансом сил давления и магнитных сил, то есть:

${\displaystyle \nabla p=\mathbf {j} \times \mathbf {B} ,}$

куда п - давление плазмы и j это электрический ток. Известно, что п является константой вдоль любой линии поля (опять же, поскольку ${\displaystyle \nabla p}$ везде перпендикулярно B). Кроме того, двумерное предположение (${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}=0}$) означает, что z-компонента левой части должна быть равна нулю, поэтому z-компонента магнитной силы в правой части также должна быть равна нулю. Это означает, что ${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }\times \mathbf {B} _{\perp }=0}$, т.е. ${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }}$ параллельно ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$.

Правую часть предыдущего уравнения можно разделить на две части:

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {B} =j_{z}({\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B_{\perp }} )+\mathbf {j_{\perp }} \times {\hat {\mathbf {z} }}B_{z},}$

где ${\displaystyle \perp }$ нижним индексом обозначена составляющая в плоскости, перпендикулярной плоскости ${\displaystyle z}$-ось. В ${\displaystyle z}$ составляющая тока в приведенном выше уравнении может быть записана в терминах одномерного векторного потенциала как${\displaystyle j_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A.}$.

Поле в плоскости равно

${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}}$,

и используя уравнение Максвелла – Ампера, ток в плоскости определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla B_{z}\times {\hat {\mathbf {z} }}}$.

Чтобы этот вектор был параллелен ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$ при необходимости вектор ${\displaystyle \nabla B_{z}}$ должен быть перпендикулярен ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$, и ${\displaystyle B_{z}}$ должен поэтому, как ${\displaystyle p}$, быть инвариантом линии поля.

Перестановка перекрестных произведений выше приводит к

${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A-(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla A)\mathbf {\hat {z}} =\nabla A}$,

и

${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }\times B_{z}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {B_{z}}{\mu _{0}}}(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla B_{z})\mathbf {\hat {z}} -{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$

Эти результаты можно подставить в выражение для ${\displaystyle \nabla p}$ чтобы дать:

${\displaystyle \nabla p=-\left[{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A\right]\nabla A-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$

С ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle B_{z}}$ являются константами вдоль силовой линии, а функции только ${\displaystyle A}$, следовательно ${\displaystyle \nabla p={\frac {dp}{dA}}\nabla A}$ и ${\displaystyle \nabla B_{z}={\frac {dB_{z}}{dA}}\nabla A}$. Таким образом, за вычетом ${\displaystyle \nabla A}$ и перестановка условий дает Уравнение Грэда – Шафранова.:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=-\mu _{0}{\frac {d}{dA}}\left(p+{\frac {B_{z}^{2}}{2\mu _{0}}}\right).}$

Рекомендации

1. Смит, С. Г. Л., и Хаттори, Ю. (2012). Осесимметричные магнитные вихри с закруткой. Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании, 17 (5), 2101-2107.

• Град, Х., Рубин, Х. (1958) Гидромагнитные равновесия и бессиловые поля. Материалы 2-й конф. о мирном использовании атомной энергии, Vol. 31, Женева: МАГАТЭ, стр. 190.
• Шафранов, В. (1966) Плазменное равновесие в магнитном поле, Обзоры физики плазмы, Vol. 2, Нью-Йорк: Бюро консультантов, стр. 103.
• Вудс, Лесли С. (2004) Физика плазмы, Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, глава 2.5.4
• Хаверкорт, Дж. (2009) Осесимметричные идеальные МГД-равновесия токамака. Заметки об уравнении Грэда – Шафранова, отдельных аспектах уравнения и его аналитических решениях.
• Хаверкорт, Дж. (2009) Осесимметричные идеальные МГД-равновесия с тороидальным потоком. Включение тороидального потока, связь с кинетической и двухжидкостной моделями и обсуждение конкретных аналитических решений.