Лемма Горданса - Gordans lemma

Лемма Гордана лемма в выпуклая геометрия и алгебраическая геометрия. Об этом можно сказать по-разному.

• Позволять ${\displaystyle A}$ матрица целых чисел. Позволять ${\displaystyle M}$ - множество неотрицательных целочисленных решений ${\displaystyle A\cdot x=0}$. Тогда существует конечное подмножество векторов ${\displaystyle M}$, так что каждый элемент ${\displaystyle M}$ представляет собой линейную комбинацию этих векторов с неотрицательными целыми коэффициентами.^[1]
• В полугруппа интегральных точек в двойной конус рационального выпуклого многогранного конуса конечно порожден.^[2]
• An аффинное торическое многообразие является алгебраическое многообразие (это следует из того, что простой спектр из полугрупповая алгебра такой полугруппы является по определению аффинное торическое многообразие ).

Лемма названа в честь немецкого математика Пол Гордан (1837–1912). это иногда^[1] называется Лемма Гордона.

Доказательства

Есть топологические и алгебраические доказательства.

Топологическое доказательство

Позволять ${\displaystyle \sigma }$ - конус, указанный в лемме. Позволять ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r}}$ - целые векторы, так что ${\displaystyle \sigma =\{x\mid \langle u_{i},x\rangle \geq 0,1\leq i\leq r\}.}$ Тогда ${\displaystyle u_{i}}$генерирует двойной конус ${\displaystyle \sigma ^{\vee }}$; действительно, писать C для конуса, порожденного ${\displaystyle u_{i}}$s, у нас есть: ${\displaystyle \sigma \subset C^{\vee }}$, что должно быть равенством. Сейчас если Икс находится в полугруппе

${\displaystyle S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{d},}$

тогда это можно записать как

${\displaystyle x=\sum _{i}n_{i}u_{i}+\sum _{i}r_{i}u_{i}}$

куда ${\displaystyle n_{i}}$ неотрицательные целые числа и ${\displaystyle 0\leq r_{i}\leq 1}$. Но с тех пор Икс и первая сумма в правой части является целой, вторая сумма также является целой и, таким образом, для второй суммы может быть только конечное число возможностей (топологическая причина). Следовательно, ${\displaystyle S_{\sigma }}$ конечно порожден.

Алгебраическое доказательство

Доказательство^[3] основана на том факте, что полугруппа S конечно порождена тогда и только тогда, когда ее полугрупповая алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$ конечно порожденная алгебра над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Чтобы доказать лемму Гордана, по индукции (ср. Доказательство выше) достаточно доказать утверждение: для любой унитальной подполугруппы S из ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$,

Если S конечно порождена, то ${\displaystyle S^{+}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle \geq 0\}}$, v интегральный вектор, конечно порожден.

Положить ${\displaystyle A=\mathbb {C} [S]}$, имеющий основу ${\displaystyle \chi ^{a},\,a\in S}$. Она имеет ${\displaystyle \mathbb {Z} }$- оценка, присвоенная

${\displaystyle A_{n}=\operatorname {span} \{\chi ^{a}\mid a\in S,\langle a,v\rangle =n\}}$.

По предположению, А конечно порожден и, следовательно, нётеров. Из алгебраической леммы ниже следует, что ${\displaystyle \mathbb {C} [S^{+}]=\oplus _{0}^{\infty }A_{n}}$ конечно порожденная алгебра над ${\displaystyle A_{0}}$. Теперь полугруппа ${\displaystyle S_{0}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle =0\}}$ это изображение S под линейной проекцией, таким образом, конечно порожденной и, следовательно, ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {C} [S_{0}]}$ конечно порожден. Следовательно, ${\displaystyle S^{+}}$ конечно порожден.

Лемма: Позволять А быть ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-градуированное кольцо. Если А является нётеровым кольцом, то ${\displaystyle A^{+}=\oplus _{0}^{\infty }A_{n}}$ является конечно порожденным ${\displaystyle A_{0}}$-алгебра.

Доказательство: Пусть я быть идеалом А порожденный всеми однородными элементами А положительной степени. С А Нётериан, я фактически порождается конечным числом ${\displaystyle f_{i}'s}$, однородный положительной степени. Если ж однородна положительной степени, то можно записать ${\displaystyle f=\sum _{i}g_{i}f_{i}}$ с ${\displaystyle g_{i}}$ однородный. Если ж имеет достаточно большую степень, то каждый ${\displaystyle g_{i}}$ имеет положительную степень и строго меньшую, чем у ж. Кроме того, каждый градус ${\displaystyle A_{n}}$ является конечно порожденным ${\displaystyle A_{0}}$-модуль. (Доказательство: пусть ${\displaystyle N_{i}}$ - возрастающая цепочка конечно порожденных подмодулей модуля ${\displaystyle A_{n}}$ с союзом ${\displaystyle A_{n}}$. Тогда цепочка идеалов ${\displaystyle N_{i}A}$ стабилизируется за конечные шаги; цепочка тоже ${\displaystyle N_{i}=N_{i}A\cap A_{n}.}$) Таким образом, индукцией по степени получаем ${\displaystyle A^{+}}$ является конечно порожденным ${\displaystyle A_{0}}$-алгебра.

Приложения

А мульти-гиперграф над определенным набором ${\displaystyle V}$ это мультимножество подмножеств ${\displaystyle V}$ (он называется «мульти-гиперграф», так как каждое гиперребро может появиться более одного раза). Мульти-гиперграф называется обычный если все вершины имеют одинаковые степень. Это называется разложимый если у него есть собственное непустое подмножество, то оно тоже регулярное. Для любого целого числа п, позволять ${\displaystyle D(n)}$ - максимальная степень неразложимого мульти-гиперграфа на п вершины. Из леммы Гордана следует, что ${\displaystyle D(n)}$ конечно.^[1] Доказательство: для каждого подмножества S вершин определите переменную Икс_S. Определите другую переменную d. Рассмотрим следующий набор п уравнения (одно уравнение на вершину):

${\displaystyle \sum _{S\ni v}x_{S}-d=0}$ для всех ${\displaystyle v\in V}$

Множество решений - это в точности множество регулярных мульти-гиперграфов на ${\displaystyle V}$. По лемме Гордана это множество порождается конечным множеством решений, т.е. существует конечное множество ${\displaystyle M}$ мульти-гиперграфов, таких, что каждый регулярный мульти-гиперграф является объединением некоторых элементов ${\displaystyle M}$. Каждый неразложимый мульти-гиперграф должен находиться в ${\displaystyle M}$ (поскольку по определению не может быть порожден другим мульти-гиперграфом). Следовательно, множество неразложимых мульти-гиперграфов конечно.

Рекомендации

1. Alon, N; Берман, К.А. (1986-09-01). «Регулярные гиперграфы, лемма Гордона, лемма Стейница и теория инвариантов». Журнал комбинаторной теории, серия А. 43 (1): 91–97. Дои:10.1016/0097-3165(86)90026-9. ISSN  0097-3165.
2. Дэвид А. Кокс, Лекции о торических многообразиях. Лекция 1. Предложение 1.11.
3. Брунс, Винфрид; Губеладзе, Иосиф (2009). Многогранники, кольца и K-теория. Монографии Спрингера по математике. Springer. Дои:10.1007 / b105283., Лемма 4.12.

Смотрите также

• Лемма Диксона