Интеграл Гудвина – Стэтона - Goodwin–Staton integral

В математике Интеграл Гудвина – Стэтона определяется как :^[1]

{ displaystyle G (z) = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2}}} {t + z}} , dt}

Он удовлетворяет следующему третьему порядку нелинейное дифференциальное уравнение ：

{ Displaystyle 4w (z) +8 , z { frac {d} {dz}} w (z) + (2 + 2 , z ^ {2}) { frac {d ^ {2}} { dz ^ {2}}} w (z) + z { frac {d ^ {3}} {dz ^ {3}}} w left (z right) = 0}

Характеристики

Симметрия:

{ Displaystyle G (-z) = - G (z)}

Расширение для малых z:

{ Displaystyle { begin {align} G (z) = {} & { Big (} 1- gamma - ln (z ^ {2}) - я operatorname {csgn} (iz ^ {2}) pi + { frac {2i} { sqrt { pi}}} z [5pt] & qquad {} + (- 2+ gamma + ln (z ^ {2}) + i operatorname {csgn} (iz ^ {2}) pi { Big)} z ^ {2} - { frac {4i} {3 { sqrt { pi}}}} z ^ {3} [5pt ] & qquad {} + left ({ frac {5} {4}} - { frac {1} {2}} gamma - { frac {1} {2}} ln (z ^ { 2}) - { frac {1} {2}} i operatorname {csgn} (iz ^ {2}) pi right) z ^ {4} + O (z ^ {5})) end { выровнено}}}

^ Фрэнк Уильям Джон Олвер (ред.), Н. М. Темме (продолжение главы), Справочник по математическим функциям NIST, глава 7, стр. 160,Издательство Кембриджского университета 2010