Глоссарий Principia Mathematica - Glossary of Principia Mathematica

Это список обозначений, используемых в Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел с Principia Mathematica (1910–13).

Второе (но не первое) издание тома I содержит список использованных обозначений в конце.

Глоссарий

Это глоссарий некоторых технических терминов в Principia Mathematica которые больше не используются широко или значение которых изменилось.

кажущаяся переменная

связанная переменная

атомарное предложение

Предложение формы р(Икс,у,...) куда р это отношение.

Барбара

Мнемоника для определенного силлогизм.

учебный класс

Подмножество членов определенного типа

codomain

Содомен отношения р это класс у такой, что xRy для некоторых Икс.

компактный

Отношение р называется компактным, если всякий раз xRz Существует у с xRy и yRz

согласный

Набор действительных чисел называется согласованным, если все ненулевые члены имеют одинаковый знак.

связаны

связь

Отношение р называется связным, если для любых двух различных членов Икс, у либо xRy или же yRx.

непрерывный

Непрерывная серия - это полное вполне упорядоченное множество, изоморфное вещественным числам. * 275

коррелятор

биекция

пара

1. Кардинальная пара - это класс, состоящий ровно из двух элементов.

2. Порядковая пара - это упорядоченная пара (рассматривается в ВЕЧЕРА как особого рода отношения)

Дедекиндианский

полный (отношение) * 214

дефиниендум

Определяемый символ

Definiens

Значение чего-то определяемого

производная

Производным от подкласса серии является класс пределов непустых подклассов

описание

Определение чего-либо как уникального объекта с заданным свойством

описательная функция

Функция, принимающая значения, которые не обязательно должны быть значениями истинности, другими словами, то, что не называется просто функцией.

разнообразие

Отношение неравенства

домен

Область отношения р это класс Икс такой, что xRy для некоторых у.

элементарное предложение

Предложение, построенное из элементарных предложений с использованием «или» и «не», но без связанных переменных.

Эпименид

Эпименид был легендарным критским философом

существующий

непустой

экстенсиональная функция

Функция, значение которой не меняется, если один из ее аргументов изменяется на что-то эквивалентное.

поле

Поле отношения р является объединением своей области и области

первый заказ

Утверждение первого порядка может иметь количественную оценку по отдельным людям, но не по вещам более высокого типа.

функция

Это часто означает пропозициональную функцию, другими словами функцию, принимающую значения «истина» или «ложь». Если она принимает другие значения, она называется «описательной функцией». ВЕЧЕРА позволяет двум функциям быть разными, даже если они принимают одинаковые значения для всех аргументов.

общее предложение

Предложение, содержащее кванторы

обобщение

Количественная оценка по некоторым переменным

однородный

Отношение называется однородным, если все аргументы имеют один и тот же тип.

индивидуальный

Рассматриваемый элемент низшего типа

индуктивный

Конечно, в том смысле, что кардинал индуктивен, если он может быть получен путем многократного прибавления 1 к 0. * 120

содержательная функция

Функция, которая не является экстенсиональной.

логичный

1. В логическая сумма двух предложений является их логическая дизъюнкция

2. Программа логический продукт двух предложений является их логическое соединение

матрица

Функция без связанных переменных. * 12

медиана

Класс называется медианным для отношения, если некоторый элемент класса лежит строго между любыми двумя терминами. * 271

член

элемент (класса)

молекулярное суждение

Предложение, построенное из двух или более атомарных предложений с использованием «или» и «не»; другими словами, элементарное предложение, не являющееся атомарным.

нулевой класс

Класс, не содержащий членов

предикативный

За столетие научных дискуссий не удалось прийти к единому мнению о том, что именно это означает, и Principia Mathematica дает несколько разных объяснений, которые нелегко согласовать. См. Введение и * 12. * 12 говорит, что предикативная функция - это функция без очевидных (связанных) переменных, другими словами матрица.

примитивное предложение

Предложение без доказательства

прогресс

Последовательность (индексированная натуральными числами)

рациональный

Рациональный ряд - это упорядоченное множество, изоморфное рациональным числам

реальная переменная

свободная переменная

референт

Период, термин Икс в xRy

рефлексивный

бесконечен в том смысле, что класс находится во взаимно однозначном соответствии с собственным подмножеством (* 124)

связь

Пропозициональная функция некоторых переменных (обычно двух). Это похоже на нынешнее значение слова «отношение».

относительный продукт

Относительный продукт двух отношений - их композиция.

relatum

Период, термин у в xRy

объем

Объем выражения - это часть предложения, в которой выражение имеет заданное значение (глава III).

Скотт

Сэр Вальтер Скотт, автор Уэверли.

второго порядка

Функция второго порядка - это функция, которая может иметь аргументы первого порядка.

раздел

Раздел общего заказа - это подкласс, содержащий всех предшественников его членов.

сегмент

Подкласс полностью упорядоченного множества, состоящего из всех предшественников членов некоторого класса.

отбор

Функция выбора: что-то, что выбирает по одному элементу из каждого набора классов.

последовательный

Секвенция класса α в полностью упорядоченном классе - это минимальный элемент класса термов, следующих за всеми членами α. (* 206)

серийное отношение

А общий заказ в классе^[1]

существенный

четко определенный или значимый

похожий

такой же мощности

протяжение

Выпуклый подкласс упорядоченного класса

Инсульт

В Инсульт Шеффера (используется только во втором издании ВЕЧЕРА)

тип

Как в теория типов. Все объекты принадлежат к одному из множества непересекающихся типов.

обычно

Относительно типов; например, «типично неоднозначный» означает «неоднозначный тип».

единица измерения

Класс единицы измерения - это тот, который содержит ровно один элемент

универсальный

Универсальный класс - это класс, содержащий все члены определенного типа.

вектор

1. По сути, инъективная функция от класса к самому себе (например, вектор в векторном пространстве, действующий в аффинном пространстве)

2. Векторное семейство - это непустое коммутирующее семейство инъективных функций из некоторого класса в себя (VIB).

Символы, представленные в Principia Mathematica, Том I

Символ	Примерное значение	Ссылка
✸	Указывает, что следующее число является ссылкой на какое-то предложение
α, β, γ, δ, λ, κ, μ	Классы	Глава I стр. 5
ж,грамм, θ, φ, χ, ψ	Функции переменных (хотя θ позже был переопределен как тип заказа реалов)	Глава I стр. 5
а,б,c,ш,Икс,у,z	Переменные	Глава I стр. 5
п,q,р	Вариативные предложения (хотя смысл п изменяется после раздела 40).	Глава I стр. 5
п,Q,р,S,Т,U	связи	Глава I стр. 5
. : :. ::	Точки используются для обозначения того, как выражения должны быть заключены в квадратные скобки, а также используются для логического «и».	Глава I, Страница 10
${\displaystyle {\hat {x}}}$	Указывает (примерно), что Икс это связанная переменная, используемая для определения функции. Также может означать (примерно) "набор Икс такой, что ... ".	Глава I, стр.15
!	Указывает, что предшествующая ему функция является первой.	Глава II.V
⊦	Утверждение: верно, что	*1(3)
~	Нет	*1(5)
∨	Или же	*1(6)
⊃	(Модификация символа Пеано Ɔ.) Подразумевает	*1.01
=	Равенство	*1.01
Df	Определение	*1.01
Пп	Примитивное предложение	*1.1
Дем.	Сокращенно от "Демонстрация"	*2.01
.	Логический и	*3.01
п⊃q⊃р	п⊃q и q⊃р	*3.02
≡	Эквивалентно	*4.01
п≡q≡р	п≡q и q≡р	*4.02
Л.с.	Сокращенно от «Гипотеза».	*5.71
(Икс)	Для всех Икс Это также может использоваться с несколькими переменными, как в 11.01.	*9
(∃Икс)	Существует Икс такой что. Это также может использоваться с несколькими переменными, как в 11.03.	*9, *10.01
≡Икс, ⊃Икс	Нижний индекс Икс сокращение, означающее, что эквивалентность или импликация верны для всех Икс. Это также может использоваться с несколькими переменными.	*10.02, *10.03, *11.05.
=	Икс=у средства Икс совпадает с у в том смысле, что они имеют одинаковые свойства	*13.01
≠	Не идентичны	*13.02
Икс=у=z	Икс=у и у=z	*13.3
℩	Это перевернутая йота (юникод U + 2129). ℩Икс означает примерно "уникальный Икс такое, что .... "	*14
[]	Индикатор объема для определенные описания.	*14.01
E!	Существует уникальный ...	*14.02
ε	Греческий эпсилон, сокращающий греческое слово ἐστί, означающее «есть». Используется для обозначения "является членом" или "является"	* 20.02 и Глава I стр. 26
Cls	Сокращение от «Класс». 2-й класс всех классов	*20.03
,	Аббревиатура, используемая, когда несколько переменных имеют одно и то же свойство	*20.04, *20.05
~ ε	Не является членом	*20.06
Опора	Сокращенно от «Proposition» (обычно это утверждение, которое пытаются доказать).	Примечание перед * 2.17
Rel	Класс отношений	*21.03
⊂ ⪽	Подмножество (с точкой для отношений)	*22.01, *23.01
∩ ⩀	Пересечение (с точкой для отношений). α∩β∩γ определяется как (α∩β) ∩γ и так далее.	*22.02, *22.53, *23.02, *23.53
∪ ⨄	Объединение (с точкой для отношений) α∪β∪γ определяется как (α∪β) ∪γ и так далее.	22.03, *22.71, *23.03, *23.71
− ∸	Дополнение класса или разность двух классов (с точкой для отношений)	*22.04, *22.05, *23.04, *23.05
V ⩒	Универсальный класс (с точкой для отношений)	*24.01
Λ ⩑	Нулевой или пустой класс (с точкой для отношений)	24.02
∃!	Следующий класс не пуст	*24.03
‘	р ‘ у означает уникальный Икс такой, что xRy	*30.01
Cnv	Сокращение от разговора. Обратное соотношение между отношениями	*31.01
Р	Обратное отношение р	*31.02
${\displaystyle {\overrightarrow {R}}}$	Отношение такое, что ${\displaystyle x{\overrightarrow {R}}z}$ если Икс это набор всех у такой, что ${\displaystyle y{\overrightarrow {R}}z}$	*32.01
${\displaystyle {\overleftarrow {R}}}$	Похожий на ${\displaystyle {\overrightarrow {R}}}$ с обратным левым и правым аргументами	*32.02
sg	Сокращенно от «sagitta» (от латинского «стрелка»). Связь между ${\displaystyle {\overrightarrow {R}}}$ и р.	*32.03
GS	Отмена SG. Связь между ${\displaystyle {\overleftarrow {R}}}$ и р.	32.04
D	Область отношения (αDR означает, что α - область определения р).	*33.01
D	(Перевернутая D) Область отношения	*33.02
C	(Начальная буква слова «кампус», на латыни «поле».) Поле отношения, объединение его домена и домена	*32.03
F	Отношение, указывающее на то, что что-то находится в области отношения	*32.04
${\displaystyle |}$	Состав двух отношений. Также используется для штриха Шеффера в * 8 приложении А второго издания.	*34.01
р^2, р^3	рп это состав р с собой п раз.	*34.02, *34.03
${\displaystyle \upharpoonleft }$	${\displaystyle \alpha \upharpoonleft R}$ это отношение р с областью, ограниченной на α	*35.01
${\displaystyle \upharpoonright }$	${\displaystyle R\upharpoonright \alpha }$ это отношение р с его кодоменом, ограниченным на α	*35.02
${\displaystyle \uparrow }$	Грубо говоря, произведение двух множеств, а точнее соответствующее отношение	*35.04
⥏	п⥏α означает ${\displaystyle \alpha \upharpoonleft P\upharpoonright \alpha }$. Символ юникода U + 294F	*36.01
“	(Двойные открытые кавычки.) р«Α - область определения отношения р ограничен классом α	*37.01
рε	αрεβ означает, что "α является областью р ограничено β "	*37.02
‘‘‘	(Тройные кавычки.) Αр‘‘ ‘Κ означает« α - область р ограничен некоторым элементом κ "	*37.04
E !!	Примерно означает, что отношение является функцией, когда оно ограничено определенным классом.	*37.05
♀	Общий символ, обозначающий любой функциональный знак или отношение.	*38
”	Двойные закрывающие кавычки, помещенные под функцией двух переменных, заменяют ее на связанную с классом функцию.	*38.03
п	Пересечение классов в классе. (Значение п здесь изменения: перед разделом 40 п пропозициональная переменная.)	*40.01
s	Объединение классов в класс	*40.02
${\displaystyle ||}$	${\displaystyle R||S}$ применяется р налево и S справа от отношения	*43.01
я	Отношение равенства	*50.01
J	Отношение неравенства	*50.02
ι	Греческая йота. Принимает класс Икс классу, единственный элемент которого Икс.	*51.01
1	Класс классов с одним элементом	*52.01
0	Класс, единственным элементом которого является пустой класс. С нижним индексом р это класс, содержащий пустое отношение.	*54.01, *56.03
2	Класс классов с двумя элементами. Точка над ним обозначает класс упорядоченных пар. С нижним индексом р это класс неравных упорядоченных пар.	*54.02, *56.01, *56.02
${\displaystyle \downarrow }$	Заказанная пара	*55.01
Cl	Сокращение от «класс». Отношение powerset	*60.01
Cl ex	Отношение, говорящее, что один класс является набором непустых классов другого	*60.02
Cls^2, Cls^3	Класс классов и класс классов классов	*60.03, *60.04
Rl	То же, что и Cl, но для отношений, а не для классов	*61.01, *61.02, *61.03, *61.04
ε	Отношение членства	*62.01
т	Тип чего-либо, другими словами, самый большой класс, содержащий это. т могут также иметь дополнительные нижние и верхние индексы.	*63.01, *64
т0	Тип членов чего-то	*63.02
αИкс	элементы α того же типа, что и Икс	*65.01 *65.03
α (Икс)	Элементы α с типом типа Икс.	*65.02 *65.04
→	α → β - класс отношений таких, что область определения любого элемента находится в α, а область определения находится в β.	*70.01
см	Сокращение от «похожего». Класс биекций между двумя классами	*73.01
см	Сходство: отношение между двумя классами взаимно однозначно.	*73.02
пΔ	λпΔκ означает, что λ - функция выбора для п ограничено κ	*80.01
исключая	Относится к различным классам, которые не пересекаются	*84
↧	п↧Икс это часть отношения п упорядоченных пар в п чей второй срок Икс.	*85.5
Rel Mult	Класс умножаемых отношений	*88.01
Cls^2 Mult	Умножаемые классы классов	*88.02
Мульт топор	Мультипликативная аксиома, форма аксиомы выбора	*88.03
р*	Транзитивное замыкание отношения р	*90.01
рул, рts	Отношения, в которых говорится, что одно отношение - это положительная сила р раз другой	*91.01, *91.02
Горшок	(Сокращение от латинского слова «потенциал», означающего власть.) Положительные силы отношения	*91.03
Потид	(Pot означает «потенциал» + «id» означает «идентичность».) Положительные или нулевые степени отношения	*91.04
рpo	Союз положительной силы р	*91.05
B	Обозначает «Начинается». Что-то находится в домене, но не в диапазоне отношения	*93.01
мин Макс	означает, что что-то является минимальным или максимальным элементом некоторого класса по отношению к некоторому отношению	*93.02 *93.021
ген	Поколения отношения	*93.03
✸	п✸Q - отношение, соответствующее операции применения п налево и Q справа от отношения. Это значение используется только в * 95, а в * 257 символ определяется иначе.	*95.01
Dft	Временное определение (за которым следует раздел, в котором оно используется).	* 95 сноска
яр,Jр	Определенные подмножества изображений элемента при многократном применении функции р. Используется только в * 96.	*96.01, *96.02
${\displaystyle {\overleftrightarrow {R}}}$	Класс предков и потомков элемента в отношении р	*97.01

Символы, представленные в Principia Mathematica, Том II

Символ	Примерное значение	Ссылка
Nc	Кардинальное число класса	*100.01,*103.01
NC	Класс количественных чисел	*100.02, *102.01, *103.02,*104.02
μ^(1)	Для кардинала μ это тот же кардинал следующего более высокого типа.	*104.03
μ(1)	Для кардинала μ это тот же кардинал следующего более низкого типа.	*105.03
+	Непересекающееся объединение двух классов	*110.01
+c	Сумма двух кардиналов	*110.02
Crp	Сокращение от «переписка».	*110.02
ς	(Греческая сигма, используемая в конце слова.) Серии сегментов серии; по сути, завершение полностью упорядоченного набора	*212.01

Символы, представленные в Principia Mathematica, Том III

Символ	Примерное значение	Ссылка
Борд	Сокращение от «bene ordinata» (лат. «Упорядоченный») - класс обоснованных отношений.	*250.01
Ω	Класс упорядоченных отношений[2]	250.02

Смотрите также

• Глоссарий теории множеств

Примечания

1. ВЕЧЕРА настаивает на том, что этот класс должен быть полем отношения, что приводит к странному соглашению, что класс не может иметь ровно один элемент.
2. Обратите внимание, что по соглашению ВЕЧЕРА не допускает хорошего упорядочивания в классе с 1 элементом.

Рекомендации

• Уайтхед, Альфред Норт и Бертран Рассел. Principia Mathematica, 3 тома, Cambridge University Press, 1910, 1912 и 1913. Второе издание, 1925 г. (том 1), 1927 (тома 2, 3).

внешняя ссылка

• Список обозначений в Principia Mathematica в конце тома I
• "Обозначения в Principia Mathematica "Бернарда Лински.
• Principia Mathematica онлайн (Историко-математический сборник Мичиганского университета):
  • Том I
  • Том II
  • Том III
• Предложение ✸54.43 в более современных обозначениях (Метамат )