Теорема Глейшера - Glaishers theorem

В теория чисел, Теорема Глейшера идентичность полезна для изучения целые разделы. Он назван в честь Джеймс Уитбред Ли Глейшер.

Заявление

В нем говорится, что количество перегородки целого числа ${\displaystyle N}$ на части не делимые на ${\displaystyle d}$ равно количеству разделов вида

${\displaystyle N=N_{1}+\cdots +N_{k}}$

куда

${\displaystyle N_{i}\geq N_{i+1}}$

и

${\displaystyle N_{i}\geq N_{i+d-1}+1,}$

то есть разделы, в которых не повторяется никакая часть d или более раз.

Когда ${\displaystyle d=2}$ это становится частным случаем, известным как теорема Эйлера, когда количество разбиений ${\displaystyle N}$ на отдельные части такое же, как количество разделов ${\displaystyle N}$ на нечетные части.

Подобные теоремы

Если вместо подсчета количества разделов с различными частями мы посчитаем количество разделов с частями, отличающимися по крайней мере на 2, то получится теорема, аналогичная теореме Эйлера, известной как теорема Роджерса (после Леонард Джеймс Роджерс ) получается:

Количество разделов, части которых отличаются как минимум на 2, равно количеству разделов, включающих только числа, совпадающие с 1 или 4 (mod 5).

Например, есть 6 разделов из 10 на части, различающиеся как минимум на 2, а именно 10, 9 + 1, 8 + 2, 7 + 3, 6 + 4, 6 + 3 + 1; и 6 разделов из 10, включающих только 1, 4, 6, 9 ..., а именно 9 + 1, 6 + 4, 6 + 1 + 1 + 1 + 1, 4 + 4 + 1 + 1, 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Теорема была открыта независимо Schur и Рамануджан.

Рекомендации

• Д. Х. Лемер (1946). «Две теоремы несуществования о разбиениях». Бык. Амер. Математика. Soc. 52 (6): 538–544. Дои:10.1090 / S0002-9904-1946-08605-X.