Теорема Гизина – Хьюстона – Джози – Вуттерса - Gisin–Hughston–Jozsa–Wootters theorem

В квантовая теория информации и квантовая оптика, то Гизин – Хьюстон – Джоза – Вуттерс (GHJW) теорема является результатом реализации смешанного состояния квантовой системы как ансамбля чистых квантовых состояний и связи между соответствующими очищениями операторы плотности. Теорема названа в честь физиков и математиков. Николя Гизен,^[1] Лейн П. Хьюстон, Ричард Джозса и Уильям Вуттерс,^[2] хотя многие из них были созданы десятилетиями ранее Эрвин Шредингер.^[3] Результат был также независимо обнаружен Николасом Хаджисаввасом, основываясь на работе Эд Джейнс,^[4][5] в то время как значительная его часть была также независимо открыта Н. Дэвид Мермин.^[6] Благодаря своей сложной истории он также известен как Теорема HJW и Теорема Шредингера – HJW.

Очистка смешанного квантового состояния

Рассмотрим смешанное состояние ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$ системы ${\displaystyle S}$, где состояния ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ не считаются взаимно ортогональными. Мы можем добавить вспомогательное пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ с ортонормированным базисом ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$, то смешанное состояние может быть получено как оператор приведенной плотности из чистого двудольного состояния

${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle |a_{i}\rangle .}$

Точнее, ${\displaystyle \rho =\mathrm {Tr} _{A}|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|}$. Штат ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$ таким образом называется очищением ${\displaystyle \rho }$. Поскольку вспомогательное пространство и базис могут быть выбраны произвольно, очистка смешанного состояния не является единственной; на самом деле существует бесконечно много очищений данного смешанного состояния.

Теорема GHJW

Рассмотрим смешанное квантовое состояние ${\displaystyle \rho }$ с двумя различными реализациями как ансамбль чистых состояний как ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$ и ${\displaystyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$. Здесь оба ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$и ${\displaystyle |\varphi _{j}\rangle }$ не считаются взаимно ортогональными. Будет две соответствующих очистки смешанного состояния. ${\displaystyle \rho }$ читать следующим образом:

Очищение 1: ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle |a_{i}\rangle }$;

Очищение 2: ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle |b_{j}\rangle }$.

Наборы ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$и ${\displaystyle \{|b_{j}\rangle \}}$ два набора ортонормированных базисов соответствующих вспомогательных пространств. Эти два очищения отличаются только унитарным преобразованием, действующим на вспомогательное пространство, а именно, существует унитарная матрица ${\displaystyle U_{A}}$такой, что ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =I\otimes U_{A}|\Psi _{SA}^{2}\rangle }$.^[7] Следовательно, ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{i}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$, что означает, что мы можем реализовать различные ансамбли смешанного состояния, просто выбрав для измерения разные наблюдаемые для одного данного очищения.

Рекомендации

1. Гисин, Н. (1984-05-07). «Квантовые измерения и случайные процессы». Письма с физическими проверками. 52 (19): 1657–1660. Bibcode:1984ПхРвЛ..52.1657Г. Дои:10.1103 / Physrevlett.52.1657. ISSN  0031-9007.
2. Hughston, Lane P .; Jozsa, Ричард; Wootters, Уильям К. (ноябрь 1993 г.). «Полная классификация квантовых ансамблей, имеющих заданную матрицу плотности». Письма о физике A. 183 (1): 14–18. Bibcode:1993ФЛА..183 ... 14Н. Дои:10.1016/0375-9601(93)90880-9. ISSN  0375-9601.
3. Шредингер, Эрвин (1936). «Вероятностные отношения между разделенными системами». Труды Кембриджского философского общества. 32 (3): 446–452. Bibcode:1936PCPS ... 32..446S. Дои:10.1017 / S0305004100019137.
4. Хаджисаввас, Николас (1981). «Свойства смесей на неортогональных состояниях». Письма по математической физике. 5 (4): 327–332. Bibcode:1981LMaPh ... 5..327H. Дои:10.1007 / BF00401481.
5. Джейнс, Э. Т. (1957). «Теория информации и статистическая механика. II». Физический обзор. 108 (2): 171–190. Bibcode:1957PhRv..108..171J. Дои:10.1103 / PhysRev.108.171.
6. Фукс, Кристофер А. (2011). Достижение совершеннолетия с квантовой информацией: заметки о паулианской идее. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19926-1. OCLC  535491156.
7. Киркпатрик, К. А. (февраль 2006 г.). "Теорема Шредингера-HJW". Основы письма по физике. 19 (1): 95–102. arXiv:Quant-ph / 0305068. Bibcode:2006ФоФЛ..19 ... 95К. Дои:10.1007 / s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875.