Гипотеза Гиллиса - Gillies conjecture

В теория чисел, Гипотеза Гиллиса это догадка о распределении простых делителей числа Числа Мерсенна и был сделан Дональд Б. Гиллис в статье 1964 года^[1] в котором он также объявил об открытии трех новых Простые числа Мерсенна. Гипотеза представляет собой специализацию теорема о простых числах и является уточнением гипотез благодаря И. Дж. Хорошо^[2] и Дэниел Шэнкс.^[3] Гипотеза остается открытой проблемой: несколько статей дают эмпирическую поддержку, но не согласуются с широко принятыми (но также открытыми) Гипотеза Ленстры – Померанса – Вагстаффа.

Гипотеза

${\displaystyle {\text{If }}}$${\displaystyle A<B<{\sqrt {M_{p}}}{\text{, as }}B/A{\text{ and }}M_{p}\rightarrow \infty {\text{, the number of prime divisors of }}M}$

${\displaystyle {\text{ in the interval }}[A,B]{\text{ is Poisson-distributed with}}}$

${\displaystyle {\text{mean }}\sim {\begin{cases}\log(\log B/\log A)&{\text{ if }}A\geq 2p\\\log(\log B/\log 2p)&{\text{ if }}A<2p\end{cases}}}$

Он отметил, что из его предположения следует, что

1. Число простых чисел Мерсенна меньше ${\displaystyle x}$ является ${\displaystyle ~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x}$.
2. Ожидаемое количество простых чисел Мерсенна ${\displaystyle M_{p}}$ с ${\displaystyle x\leq p\leq 2x}$ является ${\displaystyle \sim 2}$.
3. Вероятность того, что ${\displaystyle M_{p}}$ простое ${\displaystyle ~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}}$.

Несовместимость с гипотезой Ленстры – Померанса – Вагстаффа

В Гипотеза Ленстры – Померанса – Вагстаффа дает разные значения:^[4][5]

1. Число простых чисел Мерсенна меньше ${\displaystyle x}$ является ${\displaystyle ~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x}$.
2. Ожидаемое количество простых чисел Мерсенна ${\displaystyle M_{p}}$ с ${\displaystyle x\leq p\leq 2x}$ является ${\displaystyle \sim e^{\gamma }}$.
3. Вероятность того, что ${\displaystyle M_{p}}$ простое ${\displaystyle ~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}}$ с а = 2, если п = 3 по модулю 4 и 6 в противном случае.

Асимптотически эти значения примерно на 11% меньше.

Полученные результаты

Хотя гипотеза Гилли остается открытой, несколько статей добавили эмпирическую поддержку ее справедливости, в том числе работа Эрмана 1964 года.^[6]

Примечания

1. Дональд Б. Гиллис (1964). «Три новых простых числа Мерсенна и статистическая теория». Математика вычислений. 18 (85): 93–97. Дои:10.1090 / S0025-5718-1964-0159774-6.
2. И. Дж. Гуд (1955). «Догадки относительно чисел Мерсенна». Математика вычислений. 9 (51): 120–121. Дои:10.1090 / S0025-5718-1955-0071444-6.
3. Шанкс, Дэниел (1962). Решенные и нерешенные проблемы теории чисел. Вашингтон: Спартанские книги. п. 198.
4. Сэмюэл С. Вагстафф (1983). «Делители чисел Мерсенна». Математика вычислений. 40 (161): 385–397. Дои:10.1090 / S0025-5718-1983-0679454-X.
5. Крис Колдуэлл, Эвристика: вывод гипотезы Вагстаффа Мерсенна. Проверено 26 июля 2017.
6. Джон Р. Эрман (1967). «Число простых делителей некоторых чисел Мерсенна». Математика вычислений. 21 (100): 700–704. Дои:10.1090 / S0025-5718-1967-0223320-1.