Стандартное геометрическое отклонение - Geometric standard deviation

В теория вероятности и статистика, то геометрическое стандартное отклонение (GSD) описывает, насколько разбросан набор чисел, предпочтительным средним значением которого является среднее геометрическое. Для таких данных может быть предпочтительнее более обычного стандартное отклонение. Обратите внимание, что в отличие от обычного арифметика стандартное отклонение, геометрический стандартное отклонение является мультипликативным фактором и, следовательно, безразмерный, а не то же самое измерение в качестве входных значений. Таким образом, геометрическое стандартное отклонение правильнее было бы назвать геометрический SD фактор.^[1][2] При использовании геометрического SD-фактора в сочетании со средним геометрическим его следует описывать как «диапазон от (среднего геометрического, деленного на геометрический SD-фактор) до (геометрического среднего, умноженного на геометрический SD-фактор), и нельзя добавлять / вычитать "геометрический SD фактор" к / от среднего геометрического.^[3]

Определение

Если среднее геометрическое набора чисел {А₁, А₂, ..., А_п} обозначается как μ_грамм, то стандартное геометрическое отклонение равно

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{g}}\right)^{2} \over n}}\right).\qquad \qquad (1)}$

Вывод

Если среднее геометрическое

${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}.\,}$

затем взяв натуральный логарифм обеих сторон приводит к

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}$

Логарифм продукта - это сумма логарифмов (при условии, что ${\displaystyle A_{i}}$ положительно для всех ${\displaystyle i}$), так

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}].\,}$

Теперь видно, что ${\displaystyle \ln \,\mu _{g}}$ это среднее арифметическое из набора ${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$, поэтому стандартное арифметическое отклонение этого же набора должно быть

${\displaystyle \ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}.}$

Это упрощает

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{g}}\right)^{2} \over n}}.}$

Геометрическая стандартная оценка

Геометрическая версия стандартная оценка является

${\displaystyle z={{\ln(x)-\ln(\mu _{g})} \over \ln \sigma _{g}}={\log _{\sigma _{g}}(x/\mu _{g})}.\,}$

Если известны среднее геометрическое, стандартное отклонение и z-оценка элемента данных, то Предварительный Счет может быть реконструирован

${\displaystyle x=\mu _{g}{\sigma _{g}}^{z}.}$

Связь с логнормальным распределением

Стандартное геометрическое отклонение используется как мера лог-нормальный дисперсия аналогично среднему геометрическому.^[3] Поскольку логарифмическое преобразование логарифмически нормального распределения приводит к нормальному распределению, мы видим, что геометрическое стандартное отклонение представляет собой экспоненциальное значение стандартного отклонения логарифмически преобразованных значений, т. Е. ${\displaystyle \sigma _{g}=\exp(\operatorname {stdev} (\ln(A)))}$.

Таким образом, среднее геометрическое и геометрическое стандартное отклонение выборки данных от логарифмически нормально распределенной генеральной совокупности можно использовать для определения границ доверительные интервалы аналогично тому, как среднее арифметическое и стандартное отклонение используются для ограничения доверительных интервалов для нормального распределения. См. Обсуждение в логнормальное распределение для подробностей.

Рекомендации

1. Руководство по GraphPad
2. Кирквуд, T.B.L. (1993). "Стандартное геометрическое отклонение - ответ Богидару". Drug Dev. Инд. Аптека 19 (3): 395-6.
3. Кирквуд, T.B.L. (1979). «Геометрические средства и меры рассеяния». Биометрия. 35: 908–9. JSTOR  2530139.

Смотрите также

внешняя ссылка

• Сайт неньютоновского исчисления