Геометрическая механика - Geometric mechanics

Геометрическая механика это раздел математики, применяющий определенные геометрические методы во многих областях механика, из механики частиц и твердые тела к механика жидкости к теория управления.

Геометрическая механика применяется в основном к системам, для которых конфигурационное пространство это Группа Ли, или группа диффеоморфизмы, или, в более общем смысле, когда некоторый аспект конфигурационного пространства имеет эту групповую структуру. Например, конфигурационное пространство твердого тела, такого как спутник, представляет собой группу евклидовых движений (перемещений и вращений в пространстве), а конфигурационное пространство для жидкого кристалла - это группа диффеоморфизмов, связанных с внутренним состоянием (калибровочная симметрия или параметр порядка).

Карта моментума и редукция

Одна из основных идей геометрической механики - это снижение, которая восходит к устранению Якоби узла в задаче трех тел, но в ее современной форме принадлежит К. Мейеру (1973) и независимо Дж. Э. Марсден и А. Вайнштейн (1974), оба вдохновлены работой Смейла (1970). Симметрия гамильтоновой или лагранжевой системы приводит к сохранению величин: Теорема Нётер, и эти сохраняющиеся величины являются составляющими карта импульса J. Если п фазовое пространство и грамм группа симметрии, отображение импульса - это отображение ${ displaystyle mathbf {J}: P to { mathfrak {g}} ^ {*}}$ , а редуцированные пространства являются факторами множеств уровня J подгруппой грамм сохранение заданного уровня: для ${ displaystyle mu in { mathfrak {g}} ^ {*}}$ один определяет ${ Displaystyle P _ { mu} = mathbf {J} ^ {- 1} ( mu) / G _ { mu}}$ , и это приведенное пространство является симплектическим многообразием, если ${ displaystyle mu}$ является обычным значением J.

Вариационные принципы

Принцип Гамильтона
Принцип Лагранжа Даламбера
Мопертюи
Эйлер – Пуанкаре
Vakonomic

Геометрические интеграторы

Одним из важных достижений геометрического подхода к механике является включение геометрии в численные методы. В частности, симплектические и вариационные интеграторы оказались особенно точными для длительного интегрирования гамильтоновых и лагранжевых систем.

История

Термин «геометрическая механика» иногда относится к механике 17 века.^[1]

Как современный предмет, геометрическая механика берет свое начало в четырех работах, написанных в 1960-х годах. Это были Владимир Арнольд (1966), Стивен Смейл (1970) и Жан-Мари Сурьо (1970), и первое издание Авраам и Marsden с Основы механики (1967). Фундаментальная работа Арнольда показала, что уравнения Эйлера для свободного твердого тела являются уравнениями для геодезического потока на группе вращения SO (3), и перенесла это геометрическое понимание в динамику идеальных жидкостей, где группа вращения заменена группой объема сохраняющие диффеоморфизмы. В статье Смейла по топологии и механике исследуются сохраняющиеся величины, возникающие из теоремы Нётер, когда группа симметрий Ли действует на механическую систему, и определяется то, что теперь называется отображением импульса (которое Смейл называет угловым моментом), и он поднимает вопросы о топологии поверхностей уровня энергии-импульса и влияние на динамику. В своей книге Сурьяу также рассматривает сохраняющиеся величины, возникающие в результате действия группы симметрий, но он больше концентрируется на задействованных геометрических структурах (например, свойствах эквивариантности этого импульса для широкого класса симметрий) и меньше на вопросах динамики.

Эти идеи, особенно идеи Смейла, были центральными во втором издании книги. Основы механики (Абрахам и Марсден, 1978).

Приложения

Компьютерная графика
Теория управления - см. Bloch (2003).
Жидкие кристаллы - см. Гей-Балмаз, Ратиу, Трончи (2013)
Магнитогидродинамика
Молекулярные колебания
Неголономные связи - см. Bloch (2003).
Нелинейная устойчивость
Плазма - см. Holm, Marsden, Weinstein (1985).
Квантовая механика
Квантовая химия - см. Фоскетт, Холм, Трончи (2019)
Сверхтекучие жидкости
Планирование траектории освоения космоса
Подводные аппараты
Вариационные интеграторы; видеть Марсден и Уэст (2001)

Рекомендации

^ Себастьен Маронн, Марко Панса. «Эйлер, чтец Ньютона: механика и алгебраический анализ». В: Рафаэль Пизано. Ньютон, история и историческая эпистемология науки, 2014. С. 12–21.

Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики (2-е изд.), Эддисон-Уэсли
Арнольд, Владимир (1966), "Sur la geométrie différentielle des groupes de Lie de Dimension Infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits" (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 16: 319–361, Дои:10.5802 / aif.233
Арнольд, Владимир (1978), Математические методы классической механики, Springer-Verlag
Блох, Энтони (2003). Неголономная механика и управление. Springer-Verlag.
Foskett, Michael S .; Холм, Дэррил Д .; Трончи, Чезаре (2019). «Геометрия неадиабатической квантовой гидродинамики». Acta Applicandae Mathematicae. 162 (1): 63–103. arXiv:1807.01031. Дои:10.1007 / s10440-019-00257-1.
Гей-Балмаз, Франсуа; Ратиу, Тюдор; Трончи, Чезаре (2013). «Эквивалентные теории динамики жидких кристаллов». Arch. Рацион. Мех. Анальный. 210 (3): 773–811. arXiv:1102.2918. Bibcode:2013ArRMA.210..773G. Дои:10.1007 / s00205-013-0673-1.
Холм, Дэррил Д .; Марсден, Джеррольд Э.; Ратиу, Тюдор С.; Вайнштейн, Алан (1985). «Нелинейная устойчивость жидкостных и плазменных равновесий». Отчеты по физике. 123 (1–2): 1–116. Bibcode:1985PhR ... 123 .... 1H. Дои:10.1016/0370-1573(85)90028-6.
Либерманн, Полетт; Марль, Шарль-Мишель (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика. Математика и ее приложения. 35. Дордрехт: Д. Рейдел. Дои:10.1007/978-94-009-3807-6. ISBN 90-277-2438-5.
Марсден, Джеррольд; Вайнштейн, Алан (1974), "Редукция симплектических многообразий с симметрией", Доклады по математической физике, 5 (1): 121–130, Bibcode:1974РпМП .... 5..121М, Дои:10.1016/0034-4877(74)90021-4
Марсден, Джеррольд; Ратиу, Тюдор С. (1999). Введение в механику и симметрию. Тексты по прикладной математике (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98643-X.
Мейер, Кеннет (1973), Симметрии и интегралы в механике, Нью-Йорк: Academic Press, стр. 259–272.
Ортега, Хуан-Пабло; Ратиу, Тюдор С. (2004). Карты импульса и гамильтонова редукция. Успехи в математике. 222. Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
Смейл, Стивен (1970), «Топология и механика I», Inventiones Mathematicae, 10 (4): 305–331, Bibcode:1970InMat..10..305S, Дои:10.1007 / bf01418778
Сурьяу, Жан-Мари (1970), Структура динамических систем, Данод

[1] Себастьен Маронн, Марко Панса. «Эйлер, чтец Ньютона: механика и алгебраический анализ». В: Рафаэль Пизано. Ньютон, история и историческая эпистемология науки, 2014. С. 12–21.

[1]