Производящая функция (физика) - Generating function (physics)

Эта статья о производящих функциях в физике. Для производящих функций в математике см. Производящая функция.

В физике, а точнее в Гамильтонова механика, а производящая функция грубо говоря, функция, частные производные которой порождают дифференциальные уравнения, определяющие динамику системы. Распространенными примерами являются функция распределения статистической механики, гамильтониана и функции, которая действует как мост между двумя наборами канонических переменных при выполнении каноническое преобразование.

В канонических преобразованиях

Существуют четыре основные производящие функции, обобщенные в следующей таблице:

Производящая функция	Его производные
${displaystyle F=F_{1}(q,Q,t),!}$	${displaystyle p=~~{frac {partial F_{1}}{partial q}},!}$ и ${displaystyle P=-{frac {partial F_{1}}{partial Q}},!}$
${displaystyle F=F_{2}(q,P,t)=F_{1}+QP,!}$	${displaystyle p=~~{frac {partial F_{2}}{partial q}},!}$ и ${displaystyle Q=~~{frac {partial F_{2}}{partial P}},!}$
${displaystyle F=F_{3}(p,Q,t)=F_{1}-qp,!}$	${displaystyle q=-{frac {partial F_{3}}{partial p}},!}$ и ${displaystyle P=-{frac {partial F_{3}}{partial Q}},!}$
${displaystyle F=F_{4}(p,P,t)=F_{1}-qp+QP,!}$	${displaystyle q=-{frac {partial F_{4}}{partial p}},!}$ и ${displaystyle Q=~~{frac {partial F_{4}}{partial P}},!}$

Пример

Иногда данный гамильтониан можно превратить в гамильтониан, который выглядит как гармонический осциллятор Гамильтониан, который

${displaystyle H=aP^{2}+bQ^{2}.}$

Например, с гамильтонианом

${displaystyle H={frac {1}{2q^{2}}}+{frac {p^{2}q^{4}}{2}},}$

куда п - обобщенный импульс и q - обобщенная координата, хорошим каноническим преобразованием будет выбор

${displaystyle P=pq^{2}{ ext{ and }}Q={frac {-1}{q}}.,}$

(1)

Это превращает гамильтониан в

${displaystyle H={frac {Q^{2}}{2}}+{frac {P^{2}}{2}},}$

который имеет форму гамильтониана гармонического осциллятора.

Производящая функция F ибо это преобразование третьего вида,

${displaystyle F=F_{3}(p,Q).}$

Найти F явно используйте уравнение для его производной из таблицы выше,

${displaystyle P=-{frac {partial F_{3}}{partial Q}},}$

и подставим выражение для п из уравнения (1), выраженное через п и Q:

${displaystyle {frac {p}{Q^{2}}}=-{frac {partial F_{3}}{partial Q}}}$

Интегрируя это относительно Q приводит к уравнению для производящей функции преобразования, заданного уравнением (1):

${displaystyle F_{3}(p,Q)={frac {p}{Q}}}$

Чтобы убедиться, что это правильная генерирующая функция, убедитесь, что она соответствует (1):

${displaystyle q=-{frac {partial F_{3}}{partial p}}={frac {-1}{Q}}}$

Смотрите также

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Скобка Пуассона

Рекомендации

• Гольдштейн, Герберт (2002). Классическая механика. Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-201-65702-9.