Обобщенный рандомизированный блочный дизайн - Generalized randomized block design

В рандомизированный статистические эксперименты, обобщенные рандомизированные блочные конструкции (GRBD) используются для изучения взаимодействие между блоки и лечение. Для GRBD каждое лечение воспроизведен не менее двух раз в каждом блоке; эта репликация позволяет оценить и проверить термин взаимодействия в линейная модель (без параметрических предположений о нормальное распределение для ошибка ).^[1]

Одномерный ответ

GRBD против RCBD: репликация и взаимодействие

Смотрите также: Рандомизированный блочный дизайн, Репликация (статистика), и Взаимодействие (статистика)

Как рандомизированный полный дизайн блока (RCBD), GRBD рандомизируется. В каждом блоке процедуры случайно назначен к экспериментальные единицы: эта рандомизация также независима между блоками. В (классическом) RCBD, однако, нет репликации обработок внутри блоков.^[2]

Двусторонняя линейная модель: блоки и методы лечения

План эксперимента направляет формулировку подходящего линейная модель. Без репликации (классический) RCBD имеет двусторонняя линейная модель с лечебными и блокирующими эффектами, но без блок-лечение взаимодействие. Без повторов, эта двусторонняя линейная модель, которую можно оценивать и тестировать без параметрических предположений (с использованием распределения рандомизации, без использования нормального распределения ошибки).^[3] В RCBD взаимодействие блока и лечения невозможно оценить с помощью распределения рандомизации; a fortiori не существует "действительного" (т. е. основанного на рандомизации) теста для взаимодействия блока и лечения в дисперсионный анализ (anova) RCBD.^[4]

Различие между RCBD и GRBD игнорировалось некоторыми авторами, а игнорирование GRCBD подвергалось критике со стороны таких статистиков, как Оскар Кемпторн и Сидни Аддельман.^[5] GRBD имеет то преимущество, что репликация позволяет изучить взаимодействие блока и лечения.^[6]

GRBD при отсутствии интереса к взаимодействию блока и лечения

Однако, если известно, что взаимодействие блока и лечения незначительно, тогда в протоколе эксперимента можно указать, что члены взаимодействия должны приниматься равными нулю и что их степени свободы должны использоваться для члена ошибки.^[7] Конструкции GRBD для моделей без условий взаимодействия предлагают больше степеней свободы для тестирования лечебных эффектов, чем RCB с большим количеством блоков: экспериментатор, желающий увеличить мощность, может использовать GRBD, а не RCB с дополнительными блоками, когда дополнительные блоки-эффекты не будут иметь подлинного интереса .

Многомерный анализ

GRBD имеет ответ в виде реального числа. Для векторных ответов многомерный анализ рассматривает аналогичные двухсторонние модели с основными эффектами и взаимодействиями или ошибками. Без реплик условия ошибки смешиваются с взаимодействием, и оценивается только ошибка. С репликами взаимодействие можно проверить с помощью многомерный дисперсионный анализ а коэффициенты в линейной модели можно оценить без предвзятости и с минимальной дисперсией (с помощью метод наименьших квадратов ).^[8][9]

Функциональные модели для взаимодействий блока и лечения: тестирование известных форм взаимодействия

Опытные экспериментаторы используют неповторяющиеся эксперименты, когда репликации недопустимы. расходы. Когда в блочном дизайне отсутствуют реплики, моделировались взаимодействия. Например, F-тест Тьюки на взаимодействие (неаддитивность) был мотивирован мультипликативной моделью Манделя (1961); эта модель предполагает, что все взаимодействия лечение-блок пропорциональны произведению среднего эффекта лечения и среднего эффекта блока, где константа пропорциональности идентична для всех комбинаций лечение-блок. Тест Тьюки действителен, когда действует мультипликативная модель Манделя и когда ошибки независимо следуют нормальному распределению.

F-статистика Тьюки для тестирования взаимодействия имеет распределение, основанное на рандомизированном назначении лечения экспериментальным единицам. Когда мультипликативная модель Манделя верна, распределение рандомизации F-статистики близко аппроксимируется распределением F-статистики, предполагающей нормальное распределение ошибки, согласно статье Робинсона 1975 года.^[10]

Отказ от мультипликативного взаимодействия не обязательно означает отказ от немультипликативного взаимодействия, потому что существует множество форм взаимодействия.^[11][12]

Обобщением более ранних моделей для теста Тьюки является модель «пучка прямых линий» Манделя (1959).^[13] и функциональная модель Милликена и Грейбилла (1970), которая предполагает, что взаимодействие является известной функцией основных эффектов блока и лечения. Другие методы и эвристики взаимодействия блока и лечения в нереплицируемых исследованиях рассматриваются в монографии. Милликен и Джонсон (1989).

Смотрите также

• Блочный дизайн
• Полная блочная конструкция
• Неполная конструкция блока
• Рандомизированный блочный дизайн
• Рандомизация
• Рандомизированный эксперимент

Примечания

1. • Вилк, стр.79.
   • Лентнер и Бишип, стр. 223.
   • Аддельман (1969), стр. 35.
   • Хинкельманн и Кемпторн, например, стр. 314; c.f. стр.312.
2. • Вилк, стр.79.
   • Аддельман (1969), стр. 35.
   • Хинкельманн и Кемпторн, стр. 314.
   • Лентнер и Бишоп, стр. 223.
3. • Вилк, стр.79.
   • Аддельман (1969), стр. 35.
   • Лентнер и Бишоп, стр. 223.
   Более подробное рассмотрение содержится в главе 9.7 у Хинкельмана и Кемпторна. (Хинкельманн и Кемпторн обсуждают взаимодействие блока и лечения для более сложных блокирующих структур, таких как факторы перекрестного блокирования в главе 9.6, и для форм «неаддитивности», которые могут быть устранены путем трансформации ).
4. Вилк, Аддельман, Хинкельманн и Кемпторн.
5. • Жалобы на пренебрежение GRBD в литературе и невежество среди практикующих высказывает Аддельман (1969), стр. 35.
6. • Вилк, стр.79.
   • Аддельман (1969), стр. 35.
   • Лентнер и Бишоп, стр. 223.
7. • Аддельман (1970), стр. 1104.
   Если ученые не знают, что взаимодействие блока и лечения равно нулю, Аддельман требует, чтобы обобщенный Следует использовать рандомизированный дизайн блока, поскольку в противном случае взаимодействие блока и лечения и ошибка смешиваются. В этой ситуации, когда ученые не уверены, равно ли нулю взаимодействие блока и лечения, Хинкельманн и Кемпторн рекомендуют обобщенный Если возможно, следует использовать рандомизированный блочный дизайн (стр. 312).
8. Джонсон и Уичерн (2002), п. 312, «Многомерная двусторонняя модель фиксированных эффектов с взаимодействием», в «6.6 Двусторонний многомерный дисперсионный анализ», с. 307–317)
9. Мардиа, Кент и Бибби (1979), п. 352, «Тесты на взаимодействие», в 12.7 Двусторонняя классификация, с. 350-356)
10. Хинклеманн и Кемпторн (2008 г., п. 305) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFHinklemannKempthorne2008 (помощь)
11. Милликен и Джонсон (1989), 1.6 Тест на неаддитивность единственной степени свободы Тьюки, стр. 7-8)
12. Лентнер и Бишоп (1993, п. 214, в 6.8 Неаддитивность блоков и обработок, стр. 213–216)
13. Милликен и Джонсон (1989), 1.8 Модель пучка прямых Манделя, стр. 17-29)

Рекомендации

• Аддельман, Сидней (октябрь 1969 г.). «Обобщенный рандомизированный блочный дизайн». Американский статистик. 23 (4): 35–36. Дои:10.2307/2681737. JSTOR  2681737.

• Аддельман, Сидней (сентябрь 1970 г.). «Вариативность методов и экспериментальных единиц в дизайне и анализе экспериментов». Журнал Американской статистической ассоциации. 65 (331): 1095–1108. Дои:10.2307/2284277. JSTOR  2284277.

• Гейтс, Чарльз Э. (ноябрь 1995 г.). «Что такое экспериментальная ошибка в конструкциях блоков?». Американский статистик. 49 (4): 362–363. Дои:10.2307/2684574. JSTOR  2684574.

• Хинкельманн, Клаус; Кемпторн, Оскар (2008). Планирование и анализ экспериментов, Том I: Введение в план экспериментов (Второе изд.). Вайли. ISBN  978-0-471-72756-9. МИСТЕР  2363107.

• Джонсон, Ричард А .; Уичерн, Дин В. (2002). «6 Сравнение нескольких многомерных средних». Прикладной многомерный статистический анализ (Пятое изд.). Прентис Холл. стр.272 –353. ISBN  0-13-121973-1.

• Лентнер, Марвин; Епископ, Томас (1993). «Обобщенный проект RCB (Глава 6.13)». Экспериментальный дизайн и анализ (Второе изд.). P.O. Box 884, Blacksburg, VA 24063: Valley Book Company. С. 225–226. ISBN  0-9616255-2-X.

• Мардиа, К.В.; Kent, J. T .; Бибби, Дж. М. (1979). «12 Многомерный дисперсионный анализ». Многомерный анализ. Академическая пресса. ISBN  0-12-471250-9.

• Милликен, Джордж А.; Джонсон, Даллас Э. (1989). Нереплицированные эксперименты: спланированные эксперименты. Анализ беспорядочных данных. 2. Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
• Вилк, М. Б. (июнь 1955 г.). «Рандомизационный анализ обобщенного рандомизированного блочного дизайна». Биометрика. 42 (1–2): 70–79. Дои:10.2307/2333423. JSTOR  2333423. МИСТЕР  0068800.

• Зискинд, Джордж (декабрь 1963 г.). «Некоторые последствия рандомизации в обобщении сбалансированного неполного блочного дизайна». Анналы математической статистики. 34 (4): 1569–1581. Дои:10.1214 / aoms / 1177703889. JSTOR  2238364. МИСТЕР  0157448.