Обобщенный четырехугольник - Generalized quadrangle

GQ (2,2), Салфетка

В геометрия, а обобщенный четырехугольник является структура заболеваемости главная особенность которого - отсутствие треугольников (но много четырехугольников). Обобщенный четырехугольник по определению полярное пространство второго ранга. Они обобщенные n-угольники с п = 4 и около 2n-угольников с п = 2. Они также в точности частичная геометрия пг (s,т, α) с α = 1.

Определение

Обобщенный четырехугольник - это структура инцидентности (п,B, I), причем I ⊆ п × B ан отношение инцидентности, удовлетворяя определенные аксиомы. Элементы п по определению точки обобщенного четырехугольника, элементы B то линии. Аксиомы следующие:

Существует s (s ≥ 1) такие, что на каждой строке ровно s +1 балл. На двух разных линиях есть не более одной точки.
Существует т (т ≥ 1) такие, что через каждую точку проходит ровно т + 1 линия. Через две разные точки проходит не более одной линии.
За каждую точку п не на линии L, есть уникальная линия M и уникальная точка q, так что п на M, и q на M и L.

(s,т) являются параметры обобщенного четырехугольника. Параметры могут быть бесконечными. Если либо s или же т единица, обобщенный четырехугольник называется банальный. Например, сетка 3x3 с п = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} - тривиальный GQ с s = 2 и т = 1. Обобщенный четырехугольник с параметрами (s,т) часто обозначают GQ (s,т).

Наименьший нетривиальный обобщенный четырехугольник - это GQ (2,2), чье изображение было названо Стэном Пейном «салфеткой» в 1973 году.

Характеристики

${ Displaystyle | P | = (st + 1) (s + 1)}$
${ Displaystyle | В | = (st + 1) (t + 1)}$
${ Displaystyle (s + t) | st (s + 1) (t + 1)}$
${ displaystyle s neq 1 Longrightarrow t leq s ^ {2}}$
${ Displaystyle т neq 1 Longrightarrow s leq t ^ {2}}$

Графики

Линейный график из обобщенный четырехугольник GQ (2,4)

Есть два интересных графика, которые можно получить из обобщенного четырехугольника.

В график коллинеарности имеющий в качестве вершин точки обобщенного четырехугольника с соединенными коллинеарными точками. Этот график представляет собой сильно регулярный граф с параметрами ((s + 1) (st + 1), s (t + 1), s-1, t + 1), где (s, t) - порядок GQ.
В график заболеваемости вершины которого являются точками и прямыми обобщенного четырехугольника, а две вершины являются смежными, если одна - точка, другая - прямая и точка лежит на прямой. График инцидентности обобщенного четырехугольника характеризуется тем, что связаны, двудольный граф с диаметр четыре и обхват 8. Следовательно, это пример Клетка. Графики распространенности конфигураций сегодня обычно называют Графы Леви, но исходный граф Леви был графом инцидентности GQ (2,2).

Двойственность

Если (п,B, I) представляет собой обобщенный четырехугольник с параметрами (s,т), тогда (B,п,Я⁻¹), с I⁻¹ обратное отношение инцидентности также является обобщенным четырехугольником. Это двойственный обобщенный четырехугольник. Его параметры (т,s). Даже если s = т, дуальная структура не обязательно должна быть изоморфной исходной.

Обобщенные четырехугольники с линиями размера 3

Существует ровно пять (возможных вырожденных) обобщенных четырехугольников, в которых каждая прямая имеет три инцидентных ей точки, четырехугольник с множеством пустых прямых, четырехугольник со всеми прямыми, проходящими через фиксированную точку, соответствующую график ветряка Wd (3, n), сетка размером 3x3, четырехугольник W (2) и единственный GQ (2,4). Эти пять четырехугольников соответствуют пяти корневые системы в Классы ADE А_п, D_п, E₆, E₇ и E₈ , т. е. просто ажурные корневые системы. Видеть ^[1] и.^[2]

Классические обобщенные четырехугольники

При рассмотрении различных случаев полярные пространства ранга не менее трех и экстраполируя их на ранг 2, можно найти эти (конечные) обобщенные четырехугольники:

Гиперболический квадрика ${ displaystyle Q ^ {+} (3, q)}$ , параболическая квадрика ${ displaystyle Q (4, q)}$ и эллиптическая квадрика ${ displaystyle Q ^ {-} (5, q)}$ являются единственными возможными квадриками в проективных пространствах над конечными полями с проективным индексом 1. Находим эти параметры соответственно:

{ Displaystyle Q (3, q): s = q, t = 1}

(это просто сетка)

{ Displaystyle Q (4, q): s = q, t = q}

{ Displaystyle Q (5, q): s = q, t = q ^ {2}}

А эрмитский сорт ${ Displaystyle Н (п, д ^ {2})}$ имеет проективный индекс 1 тогда и только тогда, когда n равно 3 или 4. Мы находим:

{ displaystyle H (3, q ^ {2}): s = q ^ {2}, t = q}

{ displaystyle H (4, q ^ {2}): s = q ^ {2}, t = q ^ {3}}

Симплектическая полярность в ${ Displaystyle PG (2d + 1, q)}$ имеет максимальное изотропное подпространство размерности 1 тогда и только тогда, когда ${ displaystyle d = 1}$ . Здесь мы находим обобщенный четырехугольник ${ Displaystyle W (3, q)}$ , с ${ Displaystyle s = q, t = q}$ .

Обобщенный четырехугольник, полученный из ${ displaystyle Q (4, q)}$ всегда изоморфен двойственному к ${ Displaystyle W (3, q)}$ , и они оба самодвойственны и, следовательно, изоморфны друг другу тогда и только тогда, когда ${ displaystyle q}$ даже.

Неклассические примеры

Позволять О быть гиперовал в ${ Displaystyle PG (2, q)}$ с q даже основная сила, и вложим эту проективную (дезаргову) плоскость ${ displaystyle pi}$ в ${ Displaystyle PG (3, q)}$ . Теперь рассмотрим структуру заболеваемости ${ displaystyle T_ {2} ^ {*} (O)}$ где точки все точки не в ${ displaystyle pi}$ , линии не на ${ displaystyle pi}$ , пересекающиеся ${ displaystyle pi}$ в точке О, а заболеваемость - естественная. Это (д-1, д + 1)-обобщенный четырехугольник.
Позволять q быть основная сила (нечетное или четное) и рассмотрим симплектическую полярность ${ displaystyle theta}$ в ${ Displaystyle PG (3, q)}$ . Выбрать произвольную точку п и определить ${ displaystyle pi = p ^ { theta}}$ . Пусть все линии нашей структуры инцидентности будут абсолютными линиями не на ${ displaystyle pi}$ вместе со всеми линиями через п которые не на ${ displaystyle pi}$ , и пусть это будут все точки ${ Displaystyle PG (3, q)}$ кроме тех, что в ${ displaystyle pi}$ . Заболеваемость снова естественная. Мы снова получаем (д-1, д + 1)-обобщенный четырехугольник

Ограничения по параметрам

Используя сетки и двойные сетки, любые целое число z, z ≥ 1 допускает обобщенные четырехугольники с параметрами (1,z) и (z, 1). Кроме того, до сих пор были найдены только следующие параметры: q произвольный основная сила :