Β-функция Гедельса - Gödels β function

В математическая логика, Гёделя β функция - это функция, используемая для количественной оценки конечных последовательностей натуральных чисел в формальных теориях арифметики. В β функция используется, в частности, чтобы показать, что класс арифметически определяемые функции закрыто относительно примитивной рекурсии и, следовательно, включает все примитивные рекурсивные функции.

В β функция был введен без имени в доказательство первого из Теоремы Гёделя о неполноте (Гёдель 1931). В β функциональная лемма приведенный ниже является важным шагом этого доказательства. Гёдель дал β функция его название в (Gödel 1934).

Определение

В ${ displaystyle beta}$ функция принимает в качестве аргументов три натуральных числа. Он определяется как

{ displaystyle beta (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = rem (x_ {1}, 1 + (x_ {3} +1) cdot x_ {2}) = rem (x_ {1}, (x_ {3} cdot x_ {2} + x_ {2} +1))}

куда ${ Displaystyle rem (х, у)}$ обозначает остаток от целочисленного деления ${ displaystyle x}$ к ${ displaystyle y}$ (Мендельсон 1997: 186).

Характеристики

В β Функция является арифметически определяемой очевидным образом, потому что она использует только арифметические операции и функцию остатка, которая определяется арифметически. Поэтому это представимый в Арифметика Робинсона и более сильные теории, такие как Арифметика Пеано. За счет правильной фиксации первых двух аргументов можно добиться того, чтобы значения, полученные изменением последнего аргумента от 0 до п пройти через любые указанные (п+1) -набор натуральных чисел ( β лемма подробно описана ниже). Это позволяет моделировать количественную оценку последовательностей натуральных чисел произвольной длины, что не может быть выполнено непосредственно на языке арифметики, путем количественной оценки всего лишь двух чисел, используемых в качестве первых двух аргументов β функция.

Конкретно, если ж функция, определяемая примитивной рекурсией по параметру п, скажи ж(0) = c и ж(п+1) = грамм(п, ж(п)), затем выразить ж(п) = у хочется сказать: существует последовательность а₀, а₁, …, а_п такой, что а₀ = c, а_п = у и для всех я < п надо грамм(я, а_я) = а_я+1. Хотя это невозможно напрямую, вместо этого можно сказать: существуют натуральные числа а и б такой, что β(а,б,0) = c, β(а,б,п) = у и для всех я < п надо грамм(я, β(а,б,я)) = β(а,б,я+1).

В β функциональная лемма

Полезность β функция получается из следующего результата, который является целью β функция в доказательстве неполноты Гёделя (Gödel 1931). Этот результат объясняется более подробно, чем в доказательстве Гёделя в (Mendelson 1997: 186) и (Smith 2013: 113-118).

β функциональная лемма. Для любой последовательности натуральных чисел (k₀, k₁, …, k_п) есть натуральные числа б и c так что для каждого натурального числа 0 ≤ я ≤ п, β(б, c, я) = k_я.

Доказательство β функциональная лемма использует Китайская теорема об остатках.

Β-функция Гедельса - Gödels β function

Содержание

Определение

Характеристики

В β функциональная лемма

Смотрите также

Рекомендации