Теорема Фютера – Полиа - Fueter–Pólya theorem

В Теорема Фютера – Полиа, впервые доказано Рудольф Фютер и Георгий Полиа, утверждает, что единственный квадратичный функции сопряжения Кантор многочлены.

Вступление

В 1873 г. Георг Кантор показал, что так называемый многочлен Кантора^[1]

${\displaystyle P(x,y):={\frac {1}{2}}((x+y)^{2}+3x+y)={\frac {x^{2}+2xy+3x+y^{2}+y}{2}}=x+{\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}={\binom {x}{1}}+{\binom {x+y+1}{2}}}$

это биективный отображение из ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ к ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Полином, полученный перестановкой переменных, также является парной функцией.

Фютер исследовал, существуют ли другие квадратичные многочлены с этим свойством, и пришел к выводу, что это не тот случай, предполагая, что ${\displaystyle P(0,0)=0}$. Затем он написал Полиа, который показал, что теорема не требует этого условия.^[2]

Заявление

Если ${\displaystyle P}$ - вещественный квадратичный многочлен от двух переменных, ограничение которого на ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ это биекция от ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ к ${\displaystyle \mathbb {N} }$ тогда это

${\displaystyle P(x,y):={\frac {1}{2}}((x+y)^{2}+3x+y)}$

или же

${\displaystyle P(x,y):={\frac {1}{2}}((y+x)^{2}+3y+x).}$

Доказательство

Первоначальное доказательство на удивление сложно, если использовать Теорема Линдеманна – Вейерштрасса доказать трансцендентность${\displaystyle e^{a}}$ для ненулевого алгебраического числа ${\displaystyle a}$.^[3]В 2002 г. М. А. Всемирнов опубликовал элементарное доказательство этого результата.^[4]

Гипотеза Фютера – Полиа

Теорема утверждает, что многочлен Кантора является единственным квадратичным многочленом разделения ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ и ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Многочлен Кантора может быть обобщен до более высокой степени как биекция ℕ^k с ℕ для k > 2. Гипотеза состоит в том, что это единственные такие полиномы спаривания.

Высшие измерения

Обобщение полинома Кантора в высших измерениях выглядит следующим образом:^[5]

${\displaystyle P_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}{\binom {k-1+\sum _{j=1}^{k}x_{j}}{k}}=x_{1}+{\binom {x_{1}+x_{2}+1}{2}}+\cdots +{\binom {x_{1}+\cdots +x_{n}+n-1}{n}}}$

Сумма этих биномиальные коэффициенты дает многочлен степени ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle n}$ переменные. Вопрос о том, каждая ли степень ${\displaystyle n}$ многочлен, который является биекцией ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}\rightarrow \mathbb {N} }$ возникает как перестановка переменных многочлена ${\displaystyle P_{n}}$.^[6]

Рекомендации

1. Г. Кантор: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, J. Reine Angew. Math., Band 84 (1878), страницы 242–258
2. Рудольф Фуэтер, Георг Полиа: Обоснование Abzählung der Gitterpunkte, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Цюрих 58 (1923), страницы 280–386
3. Крейг Сморински: Теория логических чисел I, Springer-Verlag 1991, ISBN  3-540-52236-0, Главы I.4 и I.5: Теорема Фютера – Полиа I / II.
4. ВСЕМИРНОВ М. А. Два элементарных доказательства теоремы Фютера – Полиа о спаривании многочленов. Петербургская математика. J. 13 (2002), нет. 5. С. 705–715. Исправление: там же. 14 (2003), нет. 5, стр. 887.
5. П. Чоула: О некоторых полиномах, представляющих каждое натуральное число ровно один раз, Norske Vid. Сельск. Для ч. Тронхейм (1961), том 34, страницы 8–9
6. Крейг Сморински: Теория логических чисел I, Springer-Verlag 1991, ISBN  3-540-52236-0, Глава I.4, Гипотеза 4.3